Ubrzanje: razlika između inačica

{{Klasična mehanika}}

 

 

 

 

'''Ubrzanje''' je derivacija brzine po vremenu:<ref>Young H. D., Freedman R. A., Sears and Zemansky University Physics, Addison-Wesley, San Francisco (2004)</ref>

 

 

 

 

 

 

==Prosječno i trenutno ubrzanje==

 

 

 

Tijekom promatranog vremenskog intervala točka (ili tijelo) je mogla kojekako ubrzavati i usporavati svoje gibanje, pa će se istim postupkom dobiti različita prosječna ubrzanja u kraćim vremenskim podintervalima, što ograničava upotrebnu vrijednost prosječnog ubrzanja na zadani vremenski interval (i njegov zadani početni trenutak).

 

 

 

 

 

U svakoj točki proizvoljno zakrivljene putanje neke materijalne čestice može se njezino ubrzanje <math>\scriptstyle \vec a</math> rastaviti na dvije komponente: na tangencijalno ubrzanje <math>\scriptstyle \vec a_t</math> koje je paralelno s tangentom na putanju, i na normalno ubrzanje <math>\scriptstyle \vec a_n</math> koje je u smjeru normale na putanju. Na skici desno prikazano je u gornjem dijelu ukupno ubrzanje (i sila <math>\scriptstyle \vec F</math> koja ga uzrokuje), a u donjem dijelu to ubrzanje rastavljeno je na tangencijalnu i normalnu komponentu (kao i sila). Prikazane su i tangenta i normala (''t'' i ''n'') kao koordinatne osi: tangenta je u smjeru brzine <math>\scriptstyle \vec v</math>, a normala je okomita na tangentu, leži u ravnini koju određuju brzina i ukupno ubrzanje, i usmjerena je prema "udubljenom" dijelu putanje. (Uobičajeno korištenje istog slova ''t'' i za tangentu i za vrijeme ne bi smjelo dovesti do zabune: ono se u tekstu odnosi na tangentu samo ako je indeks tangencijalnog vektora ili komponente.)

 

'''Tangencijalno ubrzanje''' opisuje kako se brzo mijenja iznos brzine:

 

 

Tu je <math>\scriptstyle a_t</math> skalarna tangencijalna komponenta ubrzanja, dok je <math>\scriptstyle v</math> iznos brzine.

'''Normalno ubrzanje''' opisuje kako se brzo mijenja smjer brzine:

 

 

Tu je <math>\scriptstyle a_n</math> skalarna normalna komponenta ubrzanja, <math>\scriptstyle v</math> je iznos brzine, dok je <math>\scriptstyle r_k</math> radijus zakrivljenosti putanje u promatranoj točki.

Na skici su prikazane vektorske komponente, a u gornjem tekstu se koriste skalarne komponente. Odnos između njih i ukupnog ubrzanja je sljedeći:

 

 

Tu je <math>\scriptstyle \vec u_t</math> jedinični vektor u smjeru tangente (dakle, i u smjeru brzine), dok je <math>\scriptstyle \vec u_n</math> jedinični vektor u smjeru normale (jedinični vektori imaju iznos jednak 1). Kada se skalarna komponenta pomnoži s jediničnim vektorom, dobije se vektorska komponenta, npr. <math>\scriptstyle \vec a_t = a_t \vec u_t </math>.

 

===Formalni izvod===

 

 

Jedinični vektor tangente <math>\scriptstyle \vec u_t</math> ima smjer brzine, i može se dobiti tako da se brzina podijeli sa svojim iznosom (zato što je njegov iznos jednak 1). Deriviranjem gornjeg izraza za brzinu, prema pravilu deriviranja umnoška, dobije se:

 

 

Odmah se vidi da lijevi pribrojnik izgleda kao ranije definirana tangencijalna komponenta ubrzanja. No, da bi se to dokazalo, treba pokazati da je desni pribrojnik jednak normalnoj komponenti ubrzanja. U tu svrhu treba objasniti što se dobiva deriviranjem jediničnog vektora <math>\scriptstyle \vec u_t</math> u desnom pribrojniku.

 

====Derivacija jediničnog vektora====

Derivacija bilo kojeg jediničnog vektora <math>\scriptstyle \vec u</math> mora biti okomita na njega, kako se vidi iz skice desno, koja prikazuje promjenu <math>\scriptstyle \Delta \vec u</math> nekog jediničnog vektora u vremenskom intervalu <math>\scriptstyle \Delta t </math>. Na skici je ta promjena približno okomita na jedinični vektor, a u graničnom prijelazu kada vremenski interval teži nuli (kad se računa derivacija), promjena <math>\scriptstyle \Delta \vec u</math> postaje točno okomita na jedinični vektor (i to u smjeru njegova zakretanja). Iznos derivacije dobije se tako da se iznos promjene <math>\scriptstyle \Delta \vec u</math> podijeli s <math>\scriptstyle \Delta t </math> i provede granični prijelaz u kojemju vremenski interval teži nuli. Na skici se vidi da je iznos promjene <math>\scriptstyle \Delta \vec u</math> približno jednak duljini kružnoga luka kojega prekriva, a u graničnom prijelazu postaju točno jednaki. Duljina tog dijela kružnoga luka jednaka je kutu zakreta <math>\scriptstyle \Delta \varphi </math> kako slijedi iz definicije kuta u [[radijan]]ima (luk kroz polumjer), budući da je iznos polumjera jednak 1 (iznos jediničnog vektora). Dakle, iznos derivacije jediničnog vektora je granična vrijednost <math>\scriptstyle {{\Delta \varphi} \over {\Delta t}}</math>, a to je iznos kutne brzine zakretanja jediničnog vektora <math>\scriptstyle \omega = {{d \varphi} \over {dt}}</math>.

 

Odatle se vidi da desni pribrojnik gornje jednadžbe za ubrzanje ima smjer jediničnog vektora normale <math>\scriptstyle \vec u_n</math> te da ima iznos <math>\scriptstyle v \omega </math>. To je, dakle, doista normalna komponenta ubrzanja, i ona ima oblik:

 

 

====Analogija s kružnim gibanjem====

Po analogiji s kružnim gibanjem, i kod gibanja po krivulji opisuje se zakretanje vektora brzine pomoću iznosa brzine, i to relacijom <math>\scriptstyle \omega = v/r_k </math>. Ta relacija zapravo definira polumjer zakrivljenosti <math>\scriptstyle r_k </math> krivulje u promatranoj točki. Polumjer zakrivljenosti krivulje je polumjer tzv. oskulatorne kružnice, a to je kružnica koja najbolje prianja uz krivulju u toj točki (imaju jednaku zakrivljenost). Definiranje polumjera zakrivljenosti omogućuje da se normalna komponenta ubrzanja na krivulji izrazi na sličan način kao na kružnici:

 

===Alternativni geometrijski izvod===

Prethodni izvod orijentiran je na matematičku korektnost i potpunost, pa mu zato nedostaje neposrednog geometrijskog zora. Na skici desno, međutim, zorno je prikazano gibanje točke po krivulji tako da se vide vektori položaja i brzine na početku i na kraju vremenskog intervala <math>\scriptstyle \Delta t</math> (lijeva strana skice), kao i promjena brzine <math>\scriptstyle\Delta \vec{v}=\vec v (t+ \Delta t)-\vec v (t)</math> na desnoj strani skice. Pritom je promjena brzine rastavljena na tangencijalnu i normalnu komponentu:

 

Ubrzanje je derivacija brzine po vremenu, tj. granična vrijednost omjera promjene brzine <math>\scriptstyle \Delta \vec v</math> i pripadnog vremenskog intervala <math>\scriptstyle \Delta t</math> kada vremenski interval teži nuli:

 

 

I bez punog matematičkog formalizma, može se razumjeti kako lijevi pribrojnik daje tangencijalnu komponentu a desni normalnu komponentu ubrzanja. Iz skice je očito da <math>\scriptstyle \Delta \vec v_t </math> samo mijenja iznos brzine (u prikazanom primjeru povećava brzinu). Smjer brzine mijenja samo komponenta <math>\scriptstyle \Delta \vec v_n </math>, ali ona malo doprinosi i promjeni iznosa, jer prevodi katetu <math>\scriptstyle (\vec v(t) + \Delta \vec v_t) </math> pravokutnog trokuta u hipotenuzu <math>\scriptstyle \vec v (t+ \Delta t) </math>. Međutim, kada u graničnom prijelazu <math>\scriptstyle \Delta t</math> teži prema nuli (kod izračuna ubrzanja), taj pravokutni trokut postaje jednakokračan, pa <math>\scriptstyle \Delta \vec v_n </math> mijenja samo smjer vektora brzine.<ref>[http://www.scribd.com/doc/40272543/Levanat-Kinematika-i-dinamika I. Levanat: Fizika za TVZ - Kinematika i dinamika] Tehničko veleučilište u Zagrebu (2010)</ref>

 

Kod [[jednoliko gibanje po kružnici|jednolikog gibanja po kružnici]] uvodi se pojam centripetalnog ubrzanja koji i bez punog vektorskog formalizma jasno ocrtava smisao normalne komponente ubrzanja. A kod [[jednoliko ubrzano gibanje po kružnici|jednoliko ubrzanog gibanja po kružnici]] mora se - pored centripetalnog ubrzanja - uvesti i tangencijalno ubrzanje za opis promjene iznosa brzine. Time je zapravo obuhvaćen glavni smisao rastava ubrzanja na normalnu i tangencijalnu komponentu, čak i ako se ne koristi formalni vektorski opis.

 

== Izvori ==