Razlika između inačica stranice »Kubna jednadžba«

Dodano 13 bajtova ,  prije 4 godine
bez sažetka
m (uklonjena promjena suradnika 109.60.45.154 (razgovor), vraćeno na posljednju inačicu suradnika IvanBracin)
Pod '''kubnom jednadžbom''' podrazumijeva se jednadžba oblika
:<math> ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \qquad(1) </math>
gdje je ''a'' različit od nule. U nastavi matematike u srednjoj školi obično se smatra da su koeficijenti ''a'', ''b'', ''c,'' i ''d'' realni brojevi.<ref>Jelena Gusić, Petar Mladinić, Boris Pavković, Matematika 2, za 2. razred za prirodoslovno -matematičke gimnazije, Školska knjiga, Zagreb, 2006.(ISBN 953-0-21345-X)</ref>. Općenito, to mogu biti elementi bilo kojeg [[polje|polja]] .<ref name="Fon">B.L. van der Vaerden, Algebra I, Springer, 2003.(ISBN 0-387-40624-7)</ref>
 
== Rješenja kubne jednadžbe ==
=== Nesvodivi slučaj (Casus irreducibilis) ===
Slučaj kod kubnih jednadžba s realnim koeficijentima kad su sva tri rješenja realna (i različita). Tada se u Cardanovoj formuli nužno pojavljuju pravi kompleksni brojevi (jer nužno dolazi do drugog korijena iz negativnog broja). To je u 16. st. doživljeno kao paradoks jer da bi se došlo do realnog broja, nužno je najprije izaći iz realnog područja u kompleksno (za razliku od jednog realnog i dvaju kompleksno-konjugiranih, kad se ono realno rješenje dobije korištenjem samo realnih brojeva). To je bio jedan od glavnih razloga za uvođenje kompleksnih brojeva <ref name="Gus"/>. Primjer <math>x^3-3x=0</math> razmatran u cjelini ''Cardanova formula'' zorno pokazuje navodni paradoks. S jedne strane, rješenja su realna i lako se dobiju izravno, s druge, ako se primijeni Cardanova formula, treba računati s tri treća korijena iz imaginarne jedinice ''i''.
 
 
 
=== Općenita rješenja ===
Kubna jednadžba ima važne primjene u matematici. Na primjer, dva dugo neriješena klasična problema matematike, [[udvostručenje kocke]] i [[trisekcija kuta]], svode se na rješavanje kubnih jednadžba, prvi na <math>x^3-2=0</math>, a drugi na <math>4x^3-3x-\cos\alpha=0</math> <ref name="Fon"/>. Izvan matematike, jedna važna primjena je kod [[van der Waalsova jednadžba stanja| van der Waalsove jednadžbe]] <math>(p+\frac{a}{V^2})(V-b)=RT</math>, gdje je ''p'' tlak, ''V'' molni obujam, ''T'' temperatura plina, ''R'' plinska konstanta, ''a,b'' parametri ovisni o vrsti plina. Ona se može napisati kao kubna jednadžba s nepoznanicom ''V''
:<math>pV^3-(bp+RT)V^2+aV-ab=0.</math>
 
 
== Izvori ==