Beskonačnost: razlika između inačica
Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
m uklonjena promjena suradnika 89.17.29.36 (razgovor), vraćeno na posljednju inačicu suradnika Dexbot |
dopuna / prevedeno s engl. Wiki |
||
Redak 1:
'''Beskonačnost''' (simbolički <math>\infty</math>, [[engleski]]: infinity) dolazi od [[latinski|latinske]] riječi ''infinitas'', što znači "bezgraničnost". Odnosi se na više različitih koncepata u [[matematika|matematici]], [[filozofija|filozofiji]] i [[teologija|teologiji]], povezanih s idejom beskrajnosti, odnosno postojanjem broja ili veličine veće od bilo koje druge. Filozofi su nagađali o prirodi beskonačnosti, značajnije [[Zenon iz Eleje]] koji je predložio mnoge paradokse o beskonačnosti te [[Eudoks iz Knida]] koji je koristio ideju beskonačno malih količina u svojoj metodi ekshaustije. Danas matematičari koriste pojam beskonačnosti u infinitezimalnom računu i [[Teorija skupova|teoriji skupova]]. Kao ideja, beskonačnost se koristi i u [[fizika|fizici]].
== U matematici ==
U matematici, beskonačnost nije stvaran broj, jer se ne "ponaša" kao broj. Brojevi se mogu brojiti, no beskonačnost ne može. Danas neki smatraju beskonačnost apstraktnim konceptom.
Tijekom kraja 19. i početka 20. stoljeća, [[Georg Cantor]] je formalizirao mnoge ideje vezane uz beskonačnost i [[beskonačan skup|beskonačne skupove]]. U njegovoj teoriji postoje beskonačni skupovi različitih veličina. Tako je skup [[prirodni broj|prirodnih brojeva]] ''brojivo beskonačan'' dok je skup [[realni broj|realnih brojeva]] ''nebrojivo beskonačan''.
=== Infinitezimalni račun ===
[[Gottfried Leibniz|Leibniz]], jedan od suosnivača infinitezimalnog računa, mnogo je razmišljao o beskonačnim brojevima i njihovoj koristi u matematici. Njemu su i infinitezimalne i beskonačne količine bili idealni entiteti, ne iste prirode kao mjerljive količine, ali uvažavajući ista svojstva u skladu sa Zakonom kontinuiteta.
==== Realna analiza ====
U [[realna analiza|realnoj analizi]], simbol <math>\infty</math> predstavlja neomeđenu [[granica funkcije|granicu]]. <math>x \rightarrow \infty</math> znači da ''x'' raste neograničeno, a <math>x \to -\infty</math> znači da se ''x'' smanjuje neograničeno. Ako je ''f''(''t'') ≥ 0 za svaki ''t'' tada:
* <math>\int_{a}^{b} \, f(t)\ dt \ = \infty</math> znači da ''f''(''t'') ne graniči područje od ''a'' do ''b''
* <math>\int_{-\infty}^{\infty} \, f(t)\ dt \ = \infty</math> znači da je područje u ''f''(''t'') beskonačno.
* <math>\int_{-\infty}^{\infty} \, f(t)\ dt \ = a</math> znači da je ukupno područje u ''f''(''t'') konačno te iznosi ''a''.
Beskonačnost se također koristi za opisivanje [[red (matematika)|beskonačnih redova]]:
* <math>\sum_{i=0}^{\infty} \, f(i) = a</math> znači da suma beskonačnog reda [[konvergentni red|konvergira]] nekoj realnoj vrijednosti ''a''.
* <math>\sum_{i=0}^{\infty} \, f(i) = \infty</math> znači da suma beskonačnog reda [[divergentni red|divergira]] u smislu da djelomični zbroj reda raste neograničeno.
=== Teorija skupova ===
[[File:Infinity paradoxon - one-to-one correspondence between infinite set and proper subset.gif|thumb|Jedan na jedan uspoređivanje između beskonačnog skupa i njemu pravog podskupa]]
Drugačija vrsta beskonačnosti su glavna i redna beskonačnost teorije skupova. Georg Cantor razvio je sustav [[transfinitni brojevi|transfinitnih brojeva]] u kojem je prvi transfinitan redni broj [[Alef broj#Alef-nula|Alef-nula]] ('''ℵ<sub>0</sub>'''), kardinalnost skupa [[prirodni broj|prirodnih brojeva]]. Ovaj matematički pristup kvantitativnoj beskonačnosti razvio se krajem 19. stoljeća radom Cantora, [[Gottlob Frege|Gottloba Fregea]], [[Richard Dedekind|Richarda Dedekinda]] i drugih, koristeći ideju skupova.
Dedekindov pristup bio je usvojiti ideju [[bijekcija|uspoređivanja jedan na jedan]] kao standard za uspoređivanje veličina skupova te da se odbaci Galileov pogled (originalno [[Euklid]]ov) koji prihvaća <!-- srediti ovo --> da cjelina ne može biti jednake veličine kao i njezin dio. Beskonačan set definiran je da je iste veličine kao barem jedan njegov pravi podskup. <!-- TODO: DIJAGRAM OPISATI, DOVRSITI... -->
{{mrva-mat}}
| |||