Razlika između inačica stranice »Harmonijsko titranje«

nadopunio Harmonijsko titranje
(Nadopunio Harmonijsko titranje)
(nadopunio Harmonijsko titranje)
Harmonijsko titranje je [[titranje]] kod kojeg je [[sila]] ''F'' koja uzrokuje titranje proporcionalna otklonu veličine koja titra od njenog raznotežnog položaja ([[elongacija|elongaciji]]). Tijelo (sustav) koji izvodi harmonijsko titranje zove se '''harmonijski oscilator'''.
 
:<math> \vec F = -k \cdot \vec x \, </math>
 
gdje je: ''k'' - koeficijent razmjernosti ([[elastičnost]]i), a ''x'' - otklon ([[Elongacija (razdvojba)|elongacija]]). Predznak u jednadžbi upućuje na to da je [[sila]] povratna, to jest smjer (orijentacija) [[vektor]]a sile suprotna je orijentaciji [[vektor]]a otklona. Posljedično je ovisnost otklona harmonijskog titranja o vremenu sinusoidalna, matematički se opisuje s funkcijom <math>sin</math>:
Općenitija klasa gibanja su takozvana [[period]]ička gibanja, gdje je položaj čestice dan s periodičkom ovisnošću o vremenu, koja nije nužno sinusoidalna. Recimo, periodično skakanje kuglice po podlozi (bez gubitka energije) nije moguće opisati samo pomoću funkcije ''sin''. Takva gibanja se matematički mogu opisati pomoću zbroja beskonačno mnogo sinusoidalnih funkcija različitih [[frekvencija]], dakle pomoću beskonačno mnogo običnih harmoničkih oscilatora. Grana matematike koja se bavi analiziranjem takvih općenitih periodičkih pojava naziva se [[Fourierova analiza|Fourierova (ili harmonička) analiza]], a njen otkrivač je [[Joseph Fourier]].
U [[Fizika|fizici]] se s takvim pojavama susrećemo vrlo često, na primjer gibanje tijela na [[opruga|opruzi]], male oscilacije matematičkog i fizikalnog [[njihalo|njihala]], kruženje tijela po [[Kružnica|kružnici]], gibanje nabijene čestice u [[magnetsko polje|magnetskom polju]] ([[ciklotron]]). Posebno se harmonijska analiza često koristi za opisivanje [[svjetlost]]i, budući se pokazalo da se svaki [[foton]] može shvatiti kao ''mali'' harmonički oscilator .
 
== Objašnjenje ==
 
[[Elastičnost|Elastična]] [[sila]] ''F'' poznata je kao ''sila opruge'', prema najjednostavnijem mehaničkom oscilatoru opruge s tijelom ([[uteg]]om) [[masa|mase]] m na njezinu kraju:
 
:<math> \vec F = -k \cdot \vec x \, </math>
 
gdje je: ''k'' - konstanta [[opruga|opruge]], a ''x (t) ≡ x'' - [Elongacija (razdvojba)|elongacija]] ili pomak tijela iz ravnotežnog položaja. Polazeći od [[Newtonovi zakoni gibanja|Drugoga Newtonova zakona]], iz jednadžbe gibanja za harmoničko titranje:
 
:<math>F = m \cdot a = m \cdot \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = m \cdot \ddot{x} = -k \cdot x. </math>
 
Dobiva se [[Diferencijalne jednadžbe|diferencijalna jednadžba]] [[titranje|titranja]], a njezino je opće rješenje harmonička funkcija:
 
:<math> x(t) = A \cdot \sin\left( \frac{2 \cdot \pi \cdot t}{T} + \phi \right) </math>
 
gdje je: ''t'' - ([[Vrijeme (fizika)|vrijeme]]) nezavisna promjenjiva ([[Promjenjivica (matematika)|varijabla]]), a ''A'', ''T'' i ''φ'' su [[Konstanta|konstantne veličine]]. Trenutačna vrijednost ''x'' naziva se [[Elongacija (razdvojba)|elongacija]] (trenutačna udaljenost [[Materijalna točka|materijalne točke]] koja titra od ravnotežnoga položaja), ''A'' je [[amplituda]] (maksimalna vrijednost elongacije), ''T'' je vrijeme trajanja jednoga titraja ili [[period]] titraja. Vrijednost ''f = 1/T'' jest broj titraja u jedinici vremena ili [[frekvencija]]. Argument (''2πt/T + φ'') jest [[faza|fazni]] [[kut]] i određuje trenutačno stanje titraja. Na početku titraja (''t'' = 0) fazni kut je φ i naziva se početni fazni kut. Polazna vrijednost stanja može se odabrati i tako da je početni fazni kut jednak nuli. Uvrštenjem općeg rješenja u diferencijalnu jednadžbu titranja, dobiva se izraz:
 
:<math>\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{2\pi}{T} </math>
 
koji označava svojstvenu frekvenciju titranja oscilatora.
 
== Izvori ==
{{izvori}}
 
{{Mrva-fiz}}
 
[[Kategorija:Titranja i valovi]]