Numerička analiza: razlika između inačica

m
ispravak
m (lektura)
m (ispravak)
Dvije osnovne metode numeričke integracije su proširena [[trapezna formula]] i proširena [[Simpsonova formula]]<ref>http://web.math.pmf.unizg.hr/~rogina/2001096/num_anal.pdf str. 478, pristupljeno: 20. rujna 2013.</ref>.
 
Kod proširene '''trapezne formule''', interval integracije [a,b] podijeli se u ''n'' podintervala uz slijedećusljedeću oznaku: a=x<sub>0</sub><x<sub>1</sub><...<x<sub>n</sub>=b. U svim se točkama razdiobe izračunaju vrijednosti podintegralne funkcije y<sub>i</sub>=f(x<sub>i</sub>), te se nad svakim podintegralom formira trapez spajanjem točaka T<sub>i</sub>(x<sub>i</sub>,y<sub>i</sub>) i T<sub>i+1</sub>(x<sub>i+1</sub>,y<sub>i+1</sub>). Tim se trapezom, čija je površina jednaka P<sub>i</sub>=(x<sub>i+1</sub>-x<sub>i</sub>)(y<sub>i</sub>+y<sub>i+1</sub>)/2, aproksimira stvarna površina ispod funkcije ''f(x)'' na tom intervalu. Uz uobičajen postupak ekvidistantne razdiobe, tj razdiobe intervala na ''n'' jednakih podintervala (kod kojeg je x<sub>i+1</sub>-x<sub>i</sub>=(b-a)/n ), te zbrajanjem površina trapeza konstruiranih nad svim intervalima razdiobe dobijamo trapeznu formulu:
 
:<math>\int_{a}^{b} f(x)\, dx \, \approx \, \frac{b-a}{2n} \cdot(y_0 + 2y_1 + 2y_2 + \ldots + 2y_{n-1} + y_n) </math>
'''Eulerova metoda ''' je iterativna metoda kojom se računa aproksimacija vrijednosti ''y(x<sub>1</sub>)'' uz poznatu (običnu) diferencijalnu jednadžbu oblika ''' y'=f(x,y) ''' i početni uvjet '''y(x<sub>0</sub>)=y<sub>0</sub>''' (tzv "''Cauchyjev problem''").
 
Metoda se provodi tako da se početni interval, [''x<sub>0</sub>,x<sub>1</sub>''] (dakle, interval od točke koja je zadana početnim uvjetom, do točke u kojoj želimo izračunati vrijednost funkcije) podijeli na ''n'' jednakih dijelova. Duljinu ''h=(x<sub>1</sub>-x<sub>0</sub>)/n'' zovemo ''korakom'' metode. Zadanom diferenncijalnom jednadžbom oblika '' y'=f(x,y) '' dano je tzv. ''polje smjerova'', odnosno, svakoj točki ravnine pomoću diferencijalne jednadžbe možemo pridružiti vrijednost nagiba tangente. Upravo će nam tangenta u svakoj točki predstavljati linearnu aproksimaciju rješenja diferencijalne jednadžbe. Pomakom za vrijednost koraka ''h'' po ''x''-osi dolazimo do slijedećesljedeće točke iterativne metode (na slici označene redom s ''A<sub>0</sub>'', ''A<sub>1</sub>'', ...). Postupak ponavljamo (iteriramo) dok vrijednost na ''x''-osi ne dosegne ''x<sub>1</sub>''. Provedemo li računski opisan postupak dobivamo iterativni algoritam:<ref>http://www.pbf.unizg.hr/hr/content/download/1940/14671/.../3/.../npm11.pdf Pristupljeno: 25. rujna 2013.</ref> <ref>http://www.grad.hr/nastava/matematika/mat3/node161.html Pristupljeno: 25. rujna 2013.</ref>
 
:<math> x_{i+1} = x_i + h</math>