Razlika između inačica stranice »Cijeli broj«

Dodano 589 bajtova ,  prije 3 godine
bez sažetka
m (razmaci)
Skup prirodnih brojeva <math>\mathbb{N}</math> ne čini grupu s obzirom na operaciju zbrajanja, jer za element <math>n \in \mathbb{N}</math> ne postoji njemu inverzan element <math>n^{-1}</math>, niti jediničan element grupe. Da bismo odredili svaku razliku <math>a - b</math>, <math>a,b \in \mathbb{N}</math> koju definiramo sa <math>a + (-b)</math>, gdje je sa <math>-b</math> označen inverzni element od <math>b \in \mathbb{N}</math>, proširujemo skup <math>\mathbb{N}</math> s tim inverzima prirodnih brojeva i dodajemo poseban element 0, koji s obzirom na operaciju zbrajanja čini jedinični element grupe. U takvoj notaciji skup '''cijelih brojeva''' <math>\mathbb{Z}</math> je upravo:
'''Cijelim brojevima''' zovemo [[skup]] [[Broj|brojeva]] {0,1,-1,2,-2,...}, tj. skup koji uključuje [[prirodan_broj|prirodne brojeve]], nulu i negativne cijele brojeve. Skup cijelih brojeva u [[Matematika|matematici]] označavamo velikim slovom Z, a matematičkom notacijom to izgleda ovako:
:<math>\mathbb{Z}=\{0, 1, -1, 2, -2, \ldots\}=\{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,\ldots \}</math>
U skupu prirodnih brojeva <math>\mathbb{N}</math> često ne možemo izvršiti operaciju oduzimanja. Naime ako je
 
a,b,c<math>\in\mathbb{NZ}</math> a-b=c i\{ a<b..., -2, ne-1 postoji\} broj\cup ''c''<math>\in{0\} \cup \mathbb{N} = \{0, -1, 1, -2, 2, ... \}</math>.
Zato se uvode negativni cijeli brojevi i 0, koji zajedno sa prirodnim brojevima čine skup cijelih brojeva.
 
Element sa svojstvom da je <math>a + 0 = 0 + a = a, \forall a</math> nazivamo nulom, a inverze prirodnih brojeva nazivamo suprotnim elementima. Vrijedi <math>a + (-a) = (-a) + a = 0, \forall a</math>, iz čega lako slijedi da je skup <math>\mathbb{Z}</math> aditivna Abelova grupa.
Skup <math>\mathbb{Z}</math> je '''[[prebrojiv]]''', tj. '''ekvipotentan''' skupu <math>\mathbb{N}</math> (postoji [[bijekcija]] između tih skupova - skupovi koji imaju jednako mnogo elemenata).
 
Skup cijelih brojeva <math>\mathbb{Z}</math> čini komutativni prsten zajedno sa operacijama zbrajanja i množenja, a nula u prstenu ima svojstvo da <math>0 \cdot a = x</math> nema rješenje u samom prstenu. Skup cijelih brojeva je uređen skup, kao i skup prirodnih brojeva. Nema najvećeg ni najmanjeg elementa i ekvipotentan skupu prirodnih brojeva (tj. postoji bijekcija sa <math>\mathbb{N}</math> u <math>\mathbb{Z}</math>).
 
{{mrva-mat}}
 
[[Kategorija:Brojevi]]
Anonimni suradnik