Diferencijalne jednadžbe: razlika između inačica
Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
Uvod i povijest s en.wiki. Dodana literatura. |
|||
Redak 1:
'''Diferencijalna jednadžba''' je matematička [[jednadžba]] koja povezuje neku [[Funkcija (matematika)|funkciju]] s njenim [[Derivacija|derivacijama]]. U primjenama, funkcije obično predstavljaju fizikalne veličine, derivacije predstavljaju njihove stope promjena, a jednadžba definira odnos između funkcije i derivacije. Jer su takvi odnosi iznimno česti, diferencijalne jednadžbe igraju veliku ulogu u mnogim disciplinama, kao što su inženjerstvo, fizika, ekonomija i biologija.
U čistoj matematici, diferencijalne jednadžbe se proučavaju iz nekoliko različitih perspektiva, najviše prema svojim rješenjima - skupa funkcija koje zadovoljavaju jednadžbu. Samo su najjednostavnije diferencijalne jednadžbe rješive eksplicitnim formulama; međutim, neka svojstva rješenja dane diferencijalne jednadžbe mogu biti određena bez nalaženja njihovog egzaktnog oblika. Ako eksplicitna formula za rješenje nije dostupna, rješenje se može numerički [[Aproksimacija|aproksimirati]] upotrebom računala. Teorija dinamičkih sustava stavlja naglasak na kvalitativnu analizu sustava opisanih diferencijalnim jednadžbama, dok su mnoge numeričke metode razvijene da se odrede rješenja sa danim stupnjem točnosti.
== Povijest ==
Diferencijalne jednadžbe su se pojavile Newton-Leibnizovim izumom diferencijalnog računa. U drugom poglavlju djela iz 1671. ''Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum'', [[Isaac Newton]] je izlistao tri vrste diferencijalnih jednadžbi:
* <math>\frac{dy}{dx} = f(x)</math>
* <math>\frac{dy}{dx} = f(x, y) </math>
* <math>x_1 \frac{\partial y}{\partial x_1} + x_2 \frac{\partial y}{\partial x_2} = y </math>
On rješava te primjere i druge upotrebom beskonačnih redova i raspravlja o nejedinstvenosti rješenja.
Jacob Bernoulli predložio je Bernoullijevu diferencijalnu jednadžbu u 1695. To je obična diferencijalna jednadžba oblika:
: <math>y' + P(x)y = Q(x)y^n</math>
za koju je sljedeće godine Leibniz našao rješenja pojednostavljivanjem.
Povijesno, problem vibrirajuće žice, npr. od glazbenog instrumenta, proučavali su Jean le Rond d'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Benoulli i Joseph-Louis Lagrange. 1746. d'Alembert je otkrio jednodimenzionalnu valnu jednadžbu, i unutar deset godina Euler je otkrio trodimenzionalnu valnu jednadžbu.
U 1750-ima Euler i Lagrange razvijaju Euler-Lagrange jednadžbu u vezi s njihovim studijima o problemu određivanja krivulje na koju će čestica s težinom pasti na određenu točku u određenom vremenu, neovisno o prvotnoj poziciji.
Lagrange je riješio taj problem 1755. i poslao rješenje Euleru. Oboje su dalje razradili Lagrangeovu metodu i primijenili je na [[Mehanika|mehaniku]], što je dovelo do formulacije Lagrangeove mehanike.
Fourier je objavio svoje djelo o raspodjeli topline u ''Theorie analytique de la chaleur'', u kojem je osnivao svoja razmišljanja na Newtonovom zakonu hlađenja, naime, da je raspodjela topline između dviju molekula proporcionalna iznimno malom razlikom u njihovim temperaturama. U toj knjizi bio je sadržan Fourierov prijedlog te jednadžbe topline za difuziju topline. Ta parcijalna diferencijalna jednadžba se u današnje vrijeme podučava svakom studentu matematičke fizike.
== Literatura ==
U djelu [[Svetozar Kurepa]]: ''Matematička analiza 2 funkcije jedne varijable'', Tehnička knjiga, Zagreb, 1990. nalazi se uvod u diferencijalne jednadžbe.
{{Mrva}}
| |||