Razlika između inačica stranice »Kubna jednadžba«

Dodano 210 bajtova ,  prije 1 godinu
nastavak uređivanja
(nastavak uređivanja)
Pod '''kubnom jednadžbom''' podrazumijeva se [[jednadžba]] oblika
:<math> ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \qquad(1) </math>
gdje je ''a'' različit od nule. U nastavi [[matematika|matematike]] u srednjoj školi obično se smatra da su koeficijenti ''a'', ''b'', ''c'' i ''d'' [[realni broj|realni brojevi]].<ref>Jelena Gusić, Petar Mladinić, Boris Pavković, Matematika 2, za 2. razred za prirodoslovno -matematičke gimnazije, Školska knjiga, Zagreb, 2006.(ISBN 953-0-21345-X)</ref> Općenito, to mogu biti elementi bilo kojeg [[polje|polja]].<ref name="Fon">B.L. van der Vaerden, Algebra I, Springer, 2003.(ISBN 0-387-40624-7)</ref>
 
== Rješenja kubne jednadžbe ==
Rješenje kubne [[jednadžba|jednadžbe]], odnosno [[korijen]] pripadnog [[polinom]]a trećeg stupnja
:<math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \qquad(2)</math>
jest svaki [[broj]] ''x''<sub>0</sub> za kojeg vrijedi <math> ax_0^3 + bx_0^2 + cx_0 + d = 0. </math> Za jednažbu s [[koeficijent|koeficijentima]] u nekom polju ''k'' rješenja se razmatraju u fiksiranom [[algebarski zatvoreno polje|algebarski zatvorenom polju]] koje sadrži ''k'' (ona su uvijek u [[konačno proširenje|konačnom proširenju]] od ''k'' stupnja najviše 6 <ref name="Fon"/>). Kubna jednadžba općenito ima tri rješenja (brojeći [[kratnost]]i): dakle, mogu biti tri različita rješenja, dva rješenja od kojih je jedno dvostruko ili jedno trostruko rješenje. Ako su koeficijenti realni brojevi onda uvijek ima bar jedno realno rješenje, ali može se dogoditi da preostala dva budu kompleksna. Preciznije, mogu biti tri različita realna, dva različita realna od kojih je jedno dvostruko, jedno realno trostruko ili jedno realno i dva kompleksno-konjugirana rješenja, analogno nultočkama [[kubna funkcija|kubne funkcije]].
 
=== Vieteove formule ===
Rješenja <math>x_1,x_2,x_3</math> jednadžbe (1) zadovoljavaju sljedeće [[relacija|relacije]] koje su posebni slučaj [[Vieteove formule|Vieteovih formula]]
:<math> x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a},\ x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=\frac{c}{a},\ x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}.</math>
 
Rješenja te jednadžbe mogu se zapisati tzv. [[Cardano]]vom formulom
:<math>x=u+v=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}} +\sqrt[3]{-{q\over 2}- \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}},}</math>
iz koje se razaznaje da se rješenja mogu predočiti u zavisnosti od koeficijenata koristeći se osnovnim računskim operacijama i drugim i trećim korijenima. Nazivnici zorno pokazuju da formula nema smisla ako je karakteristika polja 2 ili 3. Općenito, a napose unutar [[kompleksni broj|kompleksnih brojeva]], [[drugi korijen]] ima dvije vrijednosti, a treći tri (samo za realne brojeve, prema dogovoru, [[korjenovanje]] je jednoznačna [[algebarska operacija|operacija]]). Zato svaki od [[pribrojnik|pribrojnika]] u [[sormula|formuli]] ima općenito šest vrijednosti. Ako se za drugi korijen izabere jedna od dviju vrijednosti (što je dopustivo jer su u pribrojnicima pred njima različiti predznaci, a ispod drugih korijena nema razlike), onda svaki od pribrojnika općenito ima po tri vrijednosti, pa bi zbroj općenito imao devet vrijednosti. Zato ovu formulu treba protumačiti tako da ona daje tri vrijednosti (računajuići kratnosti u posebnim slučajevima) <ref name="Gus">Ivica Gusić, Zašto su uvedeni kompleksni brojevi, math.e, Broj 1, veljača 2004, http://e.math.hr/old/povmat/pov1.html</ref> To se postiže tako da se za svaku od triju vrijednosti za ''u'' za vrijednost od ''v'' uzme <math>-\frac{p}{3u}</math>. Na primjer, za jednadžbu <math>x^3-3x=0</math>, lako se vidi da su rješenja brojevi <math>0,-\sqrt{3}, \sqrt{3}</math>, dok Cardanova formula daje <math>x=u+v=\sqrt[3]{\sqrt{-1}}+ \sqrt[3]{-\sqrt{-1}}=\sqrt[3]{i}+ \sqrt[3]{-i}</math> (nakon što se za drugi korijen iz -1 izabere jedna vrijednost: [[imaginarna jedinica]] ''i''). Pribrojnik ''u'' sad ima vrijednosti redom <math>\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i, -i</math> dok su pripadne vrijednosti od <math>v=1/u=\bar u</math> ([[kopmpleksno konjugirani broj|kompleksno konjugiranje]]), jednake redom <math>\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i,-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i, i</math>, a vrijednosti zbroja ''u+v'' redom <math>\sqrt{3},-\sqrt{3},0</math>, što i jesu rješenja zadane jednadžbe.
 
Ako je [[karakterristika(algebra)|karakteristika polja]] 2 ili 3 onda ne samo da ne vrijede Cardanove formule, već kubna jednadžba općenito nije rješiva u radikalima. Na primjer, nad poljem od 2 elementa, 0 i 1 sa zbrajanjem i množenjem modulo 2, jednadžba <math>x^3+1=0</math> nije rješiva u radikalima. Naime, uz očito rješenje ''x=1'', preostala dva su rješenje kvadratne jednadžbe <math>x^2+x+1=0</math> koja nije rješiva u radikalima. Slično, jednadžba . <math>x^3+2x+1=0</math> nad poljem s elementima 0,1,2 uz zbrajanje i množenje modulo 3, nema rješenja u tom polju, pa su sva tri rješenja u jedinstvenom proširenju stupnja 3 (koje nije radikalno jer je kubiranje [[bijekcija]] na početnom polju).
 
=== Nesvodivi slučaj (Casus irreducibilis) ===
Slučaj kod kubnih jednadžba s realnim koeficijentima kad su sva tri rješenja realna (i različita). Tada se u Cardanovoj formuli nužno pojavljuju pravi kompleksni brojevi (jer nužno dolazi do drugog korijena iz negativnog broja). To je u 16. st. doživljeno kao [[paradoks]] jer da bi se došlo do realnog broja, nužno je najprije izaći iz realnog područja u kompleksno (za razliku od jednog realnog i dvaju kompleksno-konjugiranih, kad se ono realno rješenje dobije korištenjem samo realnih brojeva). To je bio jedan od glavnih razloga za uvođenje kompleksnih brojeva <ref name="Gus"/>. Primjer <math>x^3-3x=0</math> razmatran u cjelini ''Cardanova formula'' zorno pokazuje navodni paradoks. S jedne strane, rješenja su realna i lako se dobiju izravno, s druge, ako se primijeni Cardanova formula, treba računati s tri treća korijena iz imaginarne jedinice ''i''.
 
=== Općenita rješenja ===