Razlika između inačica stranice »Kubna jednadžba«

Dodano 938 bajtova ,  prije 1 godinu
upotpunjen tekst u cjelini '''Općenita rješenja''' i pojašnjene formule; sitne izmjene
(nastavak uređivanja)
(upotpunjen tekst u cjelini '''Općenita rješenja''' i pojašnjene formule; sitne izmjene)
Rješenja te jednadžbe mogu se zapisati tzv. [[Cardano]]vom formulom
:<math>x=u+v=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}} +\sqrt[3]{-{q\over 2}- \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}},}</math>
iz koje se razaznaje da se rješenja mogu predočiti u zavisnosti od koeficijenata koristeći se osnovnim računskim operacijama i drugim i trećim korijenima. Nazivnici zorno pokazuju da formula nema smisla ako je karakteristika polja 2 ili 3. Općenito, a napose unutar [[kompleksni broj|kompleksnih brojeva]], [[drugi korijen]] ima dvije vrijednosti, a treći tri (samo za realne brojeve, prema dogovoru, [[korjenovanje]] je jednoznačna [[algebarska operacija|operacija]]). Zato svaki od [[pribrojnik|pribrojnika]] u [[sormula|formuli]] ima općenito šest vrijednosti. Ako se za drugi korijen izabere jedna od dviju vrijednosti (što je dopustivo jer su u pribrojnicima pred njima različiti predznaci, a ispod drugih korijena nema razlike), onda svaki od pribrojnika općenito ima po tri vrijednosti, pa bi zbroj općenito imao devet vrijednosti. Zato ovu formulu treba protumačiti tako da ona daje tri vrijednosti (računajuićiračunajući kratnosti u posebnim slučajevima) <ref name="Gus">Ivica Gusić, Zašto su uvedeni kompleksni brojevi, math.e, Broj 1, veljača 2004, http://e.math.hr/old/povmat/pov1.html</ref> To se postiže tako da se za svaku od triju vrijednosti za ''u'' za vrijednost od ''v'' uzme <math>-\frac{p}{3u}</math>, tja da bude zadovoljen uvjet <math>uv=-\frac{p}{3}</math>. Na primjer, za jednadžbu <math>x^3-3x=0</math>, lako se vidi da su rješenja brojevi <math>0,-\sqrt{3}, \sqrt{3}</math>, dok Cardanova formula daje <math>x=u+v=\sqrt[3]{\sqrt{-1}}+ \sqrt[3]{-\sqrt{-1}}=\sqrt[3]{i}+ \sqrt[3]{-i}</math> (nakon što se za drugi korijen iz -1 izabere jedna vrijednost: [[imaginarna jedinica]] ''i''). Pribrojnik ''u'' sad ima vrijednosti redom <math>\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i, -i</math> dok su pripadne vrijednosti od <math>v=1/u=\bar u</math> ([[kopmpleksno konjugirani broj|kompleksno konjugiranje]]), jednake redom <math>\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i,-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i, i</math>, a vrijednosti zbroja ''u+v'' redom <math>\sqrt{3},-\sqrt{3},0</math>, što i jesu rješenja zadane jednadžbe.
 
Ako je [[karakterristikakarakteristika(algebra)|karakteristika polja]] 2 ili 3 onda ne samo da ne vrijede Cardanove formule, već kubna jednadžba općenito nije rješiva u radikalima. Na primjer, nad poljem od 2 elementa, 0 i 1 sa zbrajanjem i množenjem modulo 2, jednadžba <math>x^3+1=0</math> nije rješiva u radikalima. Naime, uz očito rješenje ''x=1'', preostala dva su rješenje kvadratne jednadžbe <math>x^2+x+1=0</math> koja nije rješiva u radikalima. Slično, jednadžba . <math>x^3+2x+1=0</math> nad poljem s elementima 0,1,2 uz zbrajanje i množenje modulo 3, nema rješenja u tom polju, pa su sva tri rješenja u jedinstvenom proširenju stupnja 3 (koje nije radikalno jer je kubiranje [[bijekcija]] na početnom polju).
 
=== Nesvodivi slučaj (Casus irreducibilis) ===
&+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}
\end{align}</math>
Ove formule vrijede za jednadžbe s realnim koeficijentima s diskriminantom većom ili jednakoj nuli (tj. ako izraz ispod drugog korijena nije negativan), uz dogovor da su i drugi i treći korijeni standardni korijeni na realnim brojevima. Općenito, napose ako je diskriminanta negativna, potrebna je posebna interpretacija:
* za drugi korijen izabere se jedan od dvaju kompleksnih drugih korijena i koristi se u svim izrazima
* u formuli za <math>x_1</math> treći korijeni izaberu se tako da umnožak vrijednosti tih trećih korijena bude <math>b^2-3a^2c</math>
* u formulama za preostala dva rješenja na odgovarajućim mjestima primijene se oni treći korijeni koji su izabrani kod prvog rješenja.
Uz gornji dogovor te formule vrijede i za jednadžbe s kompleksnim koeficijentima kao i za jednadžbe s koeficijentima u bilo kojem polju karakteristike različite od 2 i od 3.
 
== Primjena kubne jednadžbe ==