Numerička analiza: razlika između inačica

Potrebe za numeričkim rješavanjem matematičkih problema su višestruke. Kod nekih problema, dokazano je da analitičko rješenje (rješenje zapisano pomoću elementarnih funkcija) ne postoji -- primjerice rješenje integrala <math> \int e^{x^2} \, dx</math> nemoguće je zapisati pomoću elementarnih funkcija. Pa ipak, određeni integral <math> \int_a^b e^{x^2} \, dx</math> predstavlja konkretnu, jedinstveno određenu površinu. Do te vrijednosti, koja ima široku upotrebu npr. u statistici, moguće je doći samo numeričkim metodama. Osim toga, numeričke metode često se koriste za određivanje rješenja matematičkih problema koji bi zbog svoje veličine, kroz standardni postupak rješavanja, predugo trajali -- primjerice, kada je potrebno riješiti sustav od 10 000 jednadžbi s 10 000 nepoznanica. I konačno, numeričke metode su nezaobilazne u aproksimativnom računu, kada se aproksimacijama (i ocjenama pripadnih grešaka) zamjenjuje stvarna vrijednost funkcije do koje je nemoguće ili preteško doći. To su metode poput [[Metoda konačnih elemenata|metode konačnih elemenata]] ili pak kubičnih splineova kojima se aproksimira ponašanje nepoznate funkcije o kojoj znamo tek konačan broj vrijednosti, najčešće dobijenihdobivenih mjerenjima.

<math> \int_{a}int_a^{b} f(x) \, dx </math>.

Kod proširene '''trapezne formule''', interval integracije [a,b] podijeli se u ''n'' podintervala uz slijedeću oznaku: a=x₀<x₁<...<x_n=b. U svim se točkama razdiobe izračunaju vrijednosti podintegralne funkcije y_i=f(x_i), te se nad svakim podintegralom formira trapez spajanjem točaka T_i(x_i,y_i) i T_i+1(x_i+1,y_i+1). Tim se trapezom, čija je površina jednaka P_i=(x_i+1-x_i)(y_i+y_i+1)/2, aproksimira stvarna površina ispod funkcije ''f(x)'' na tom intervalu. Uz uobičajen postupak ekvidistantne razdiobe, tj razdiobe intervala na ''n'' jednakih podintervala (kod kojeg je x_i+1-x_i=(b-a)/n ), te zbrajanjem površina trapeza konstruiranih nad svim intervalima razdiobe dobijamodobivamo trapeznu formulu:

Proširena '''Simpsonova formula''', kao i ''trapezna formula'' počinjekreće sa razdiobom intervala ''[a,b]'' na ''n'', (ne nužno,) jednakih podintervala. No ovoga puta se na svaka dva podintervala, odnosno kroz točke T_i-1(x_i-1,y_i-1), T_i(x_i,y_i) i T_i+1(x_i+1,y_i+1) povlači jedinstveno određena [[kvadratna funkcija]] (parabola). Zbog toga kod provođenja Simpsonove formule ''imamo dodatni zahtjev da je broj podintervala n paran''. Računanjem površina ispod tako kontruiranih parabola, te njihovim zbrajanjem dobijamodobivamo proširenu Simpsonovu formulu: