Razlika između inačica stranice »Binarne relacije«

Dodana 663 bajta ,  prije 2 godine
Popunjena lista svojstava, manje promjene navedenih primjera i dodan dovoljan uvjet da relacija bude relacija ekvivalencije
(Definicije su prilagođene modernoj ZFC teoriji skupova, odnosno usklađene su s definicijama izvedenih iz sveučilišnih udžbenika)
Oznake: VisualEditor mobilni uređaj m.wiki
(Popunjena lista svojstava, manje promjene navedenih primjera i dodan dovoljan uvjet da relacija bude relacija ekvivalencije)
Oznake: VisualEditor mobilni uređaj m.wiki
Neka je S neprazan skup, <math>S</math> = {1,2,3,4}, Kartezijev produkt skupa S sa samim sobom je:
<math>SxS</math> = {{1,1},{1,2},{1,3},{1,4},{2,1},{2,2},{2,3},{2,4},{3,1},{3,2},{3,3},{3,4},{4,1},{4,2},{4,3},{4,4}}
Binarna relacija <math><</math> ("uobičajena" relacija ''biti manji od'' nasljeđena iz skupa realnih brojeva) na skupu SxS je onaj podskup skupa SxS za kojeg vrijedi da je <math>x \mathcal{R} y</math>, tj. u ovom primjeru x<y:
<math>\mathcal{R} \subseteq S \times S</math> = {{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}}
 
Binarna relacija može biti:
* '''refleksivna''': ako je <math>x\mathcal{R} x,\forall x \in S</math> (svaki element je u relaciji sam sa sobom);
* '''simetričnaantirefleksivna''': ako je <math>\neg(x\mathcal{R} yx) \Rightarrow y\mathcal{R} x, \forall x,y \in S</math> (akoniti jejedan <math>x</math>element u relaciji sa <math>y</math> onda i <math>y</math>ne morasmije biti u relaciji sam sa <math>x</math>sobom);
* '''antisimetričnasimetrična''': ako <math>(x\mathcal {R} y) \landRightarrow (y\mathcal {R} x), \Rightarrowforall x=,y\in S</math> (ako je <math>x</math> u relaciji sa <math>y</math> onda i <math>y</math> mora biti u relaciji sa <math>x</math>, onda je <math>x = y</math>);
*'''antisimetrična''': ako <math>(x\mathcal R y) \land (y\mathcal R x) \Rightarrow x=y</math> (ako je <math>x</math> u relaciji sa <math>y</math> i <math>y</math> u relaciji sa <math>x</math>, onda je <math>x = y</math>;
*'''asimetrična''': ako<math>x\mathcal{R} y \Rightarrow \neg (y\mathcal{R} x) , \forall x,y\in S</math> (ako je <math>x</math> u relaciji sa <math>y</math> onda <math>y</math> ne smije biti u relaciji sa <math>x</math>);
* '''tranzitivna''': ako <math>(x\mathcal R y) \land (y\mathcal R z) \Rightarrow x\mathcal R z</math> (ako je <math>x</math> u relaciji sa <math>y</math>, i <math>y</math> u relaciji sa <math>z</math> onda je <math>x</math> i u relaciji sa <math>z</math>);
*
* '''antisimetrična''': ako <math>(x\mathcal R y) \land (y\mathcal R x) \Rightarrow x=y</math> (ako je <math>x</math> u relaciji sa <math>y</math> i <math>y</math> u relaciji sa <math>x</math>, onda je <math>x = y</math>;
 
== Relacija ekvivalencije ==
Binarna relacija je '''relacije ekvivalencije''', ako je refleksivna, simetrična i tranzitivna.
 
U slučaju kada se domena relacije podudara sa skupom na kojem je relacija zadana, dovoljan uvjet da ona bude relacija ekvivalencije je da bude simetrična i tranzitivna (refleksivnost će slijediti iz spomenutih svojstava).
 
== Parcijalni uređaj i totalni uređaj ==
Anonimni suradnik