|
* Klasa ob(''C''), čiji elementi se zovu objekti;
* Klasa hom(''C''), čiji elementi se zovu [[:en:Morphism|morfizmi]] orili [[:en:Map_(mathematics)|slike]] orili ''strelice''. Svaki morfizam '''''f''''' ima ''izvor objekt '''a''''' i ''cilj objekt '''b'''''. Izraz {{nowrap|''f'' : ''a'' → ''b''}}, izgovara se kao "''f'' je morfizam iz ''a'' u ''b''". Izraz {{nowrap|'''hom(''a'', ''b'')'''}} – alternativno izražen kao {{nowrap|'''hom<sub>''C''</sub>(''a'', ''b'')'''}}, {{nowrap|'''mor(''a'', ''b'')'''}}, ili {{nowrap|'''''C''(''a'', ''b'')'''}} – označuje ''hom-klasu'' svih morfizama iz ''a'' u ''b''.
* [[:en:Binary_operation|Binarna operacija]] ∘, zvana ''kompozicija morfizama'', takva da za bilo koja tri objekta ''a'', ''b'', i ''c'', vrijedi {{nowrap|∘ : hom(''b'', ''c'') × hom(''a'', ''b'') → hom(''a'', ''c'')}}. Kompozicija {{nowrap|''f'' : ''a'' → ''b''}} i {{nowrap|''g'' : ''b'' → ''c''}} se zapisuje {{nowrap|''g'' ∘ ''f''}} ili ''gf'',{{efn|Some authors compose in the opposite order, writing ''fg'' or {{nowrap|1=''f'' ∘ ''g''}} for {{nowrap|1=''g'' ∘ ''f''}}. Computer scientists using category theory very commonly write {{nowrap|1=''f'' ; ''g''}} for {{nowrap|1=''g'' ∘ ''f''}}}} vladana sljedećim dvijema aksiomima:
** [[:en:Associativity|Asocijatnivnost]]: Ako je {{nowrap|''f'' : ''a'' → ''b''}}, {{nowrap|''g'' : ''b'' → ''c''}} i {{nowrap|''h'' : ''c'' → ''d''}} onda {{nowrap|1=''h'' ∘ (''g'' ∘ ''f'') = (''h'' ∘ ''g'') ∘ ''f''}}, i
Relacije između morfizama (poput {{nowrap|1=''fg'' = ''h''}}) često se prikazuju pomoću [[:en:Commutative_diagram|komutativnih dijagrama]], sa "točkama" (kutevima) predstavljajući objekte i "strelice" predstavljajući morfizme.
[[:en:MorphismMorfizam|MorphismsMorfizmi]] mogu imati bilo koja od sljedećih svojstava. Morfizam {{nowrap|''f'' : ''a'' → ''b''}} je:
* [[:en:Monomorphism|monomorfizam]] (ili injekcija) ako {{nowrap|1=''f'' ∘ ''g''<sub>1</sub> = ''f'' ∘ ''g''<sub>2</sub>}} povlači {{nowrap|1=''g''<sub>1</sub> = ''g''<sub>2</sub>}} za sve morfizme {{nowrap|''g''<sub>1</sub>, ''g<sub>2</sub>'' : ''x'' → ''a''}}.
* [[:en:Epimorphism|epimorfizam]] (ili surjekcija) ako {{nowrap|1=''g''<sub>1</sub> ∘ ''f'' = ''g''<sub>2</sub> ∘ ''f''}} povlači {{nowrap|1=''g<sub>1</sub>'' = ''g<sub>2</sub>''}} za sve morfizme {{nowrap|''g<sub>1</sub>'', ''g<sub>2</sub>'' : ''b'' → ''x''}}.
* ''bimorphism'' ako je ''f'' oboje injekcija i surjekcija.
* [[:en:Isomorphism|izomorfizam]] ako postoji morfizam {{nowrap|''g'' : ''b'' → ''a''}} such that {{nowrap|1=''f'' ∘ ''g'' = 1<sub>''b''</sub> and ''g'' ∘ ''f'' = 1<sub>''a''</sub>}}.{{efn|Note that a morphism that is both epic and monic is not necessarily an isomorphism! An elementary counterexample: in the category consisting of two objects ''A'' and ''B'', the identity morphisms, and a single morphism ''f'' from ''A'' to ''B'', ''f'' is both epic and monic but is not an isomorphism.}}
* [[:en:Endomorphism|endomorfizam]] ako {{nowrap|1=''a'' = ''b''}}. end(''a'') označava klasu endomorfizama od ''a''.
* [[:en:Automorphism|automorfizam]] ako ''f'' je oboje endomorfizam i izomorfizam. aut(''a'') označava klasu automorfizama od ''a''.
* [[:en:Retract_(category_theory)|retrakcija]] ako ''desni inverz od f postoji'', t.j. ako postoji morfizam {{nowrap|''g'' : ''b'' → ''a''}} takav da {{nowrap|1=''f'' ∘ ''g'' = 1<sub>''b''</sub>}}.
* [[:en:Section_(category_theory)|sekcija]] ako lijevi invers od ''f'' postoji, t.j. ako postoji morfizam {{nowrap|''g'' : ''b'' → ''a''}} takav da {{nowrap|1=''g'' ∘ ''f'' = 1<sub>''a''</sub>}}.
Svaka retrakcija je epimorfizam, i svaka sekcija je monomorphism. Nadalje, sljedeće tri tvrdnje su ekvivalentne:
* ''f'' je epimorfizam i sekcija;
* ''f'' je izomorfizam.
U kategoriji Set u kojoj su objekti skupovi, morfizmi preslikavanja skupova, a kompozicija je obična kompozicija preslikavanja, monomorfizmi su upravo [[injektivno preslikavanje|injekcije]], a epimorfizmi su upravo [[surjekcija|surjekcije]].
=== Suprotna kategorija ===
| 