Kubna funkcija: razlika između inačica

gdje je ''a'' različito od nule. Pripadna jednadžba <math>f(x)=0</math> je [[kubna jednadžba]]. U pravilu, a naročito u nastavi matematike u srednjoj školi, misli se na [[realna funkcija|realnu funkciju]] [[varijabla|realne varijable]], što znači da su [[koeficijent|koeficijenti]]i ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' realni brojevi, a vrijednosti varijable ''x'' realne. Od sada se, ukoliko izrijekom ne bude rečeno drukčije, razmatraju samo takve funkcije <ref>Jelena Gusić, Petar Mladinić, Boris Pavković, Matematika 2, za 2. razred za prirodoslovno-matematičke gimnazije, Školska knjiga, Zagreb, 2006.({{ISBN |953-0-21345-X}})</ref>

[[Image:Polynomialdeg3.svg|thumb|right|300px||<center><math>f(x) = (x^3 +3x^2 - 6x - 8)/4\, \!</math><center> ]]

Kubna funkcija može imati tri nultočke, dvije nultočke od kojih je jedna dvostruka, jednu trostruku nultočku ili jednu (jednostruku) nultočku. Misli se na realne nultočke, a ako se dopuste i kompleksne, onda u posljednjem slučaju, uz rečenu realnu, postoje još i dvije kompleksno-konjugirane. Dakle, uvijek postoji bar jedna realna nultočka. Geometrijski, nultočke se očitavaju iz grafa funkcije: to su prve koordinate točaka u kojima graf funkcije siječe (odnosno dira) ''x''-os. Tako za funkciju <math> f(x):= (x^3 +3x^2 - 6x - 8)/4 \, </math> nultočke su redom brojevi -4, -1, 2, što se vidi i iz grafa koji siječe ''x''-os redom u točkama (-4,0), (-1,0), (2,0). Sve se očituje i na rastavu na faktore: <math> x^3 +3x^2 - 6x - 8 =(x+4)(x+1)(x-2)\, </math>. Drugu mogućnost ilustrira funkcija <math> f(x):= x^3 -2x^2 +x =x(x-1)^2 \, </math>. Tu je 0 jednostruka, a 1 dvostruka nultočka. U koordinatnom sustavu to se očituje tako što graf siječe ''x''-os u točki (0,0),a dodiruje je u točki (1,0) gdje je nultočka dvostruka. Funkcija kubiranja <math> f(x):= x^3 \, </math> kojoj je 0 trostruka nultočka, najjednostavniji je primjer treće mogućnosti. Konačno, posljednju mogućnost ilustrira funkcija <math> f(x):= x^3 +x=x(x^2+1)=x(x+i)(x-i) \, </math>. Vidi se da je 0 jedina (realna) nultočka, dok su ''-i'',''i'' kompleksno-konjugirane.

[[kritična točka (matematika)|Kritične točke]] funkcije jesu one (realne) vrijednosti od ''x'' za koje je prva [[derivacija]] jednaka nuli <ref>Sanja Antoliš, Aneta Copić, Matematika 4, udžbenik sa zbirkom zadatataka za 4. razred prirodoslovnih gimnazija, Školska knjiga, Zagreb, 2006. ({{ISBN |953-0-21349-2}})</ref>.

Kako je ''f'''(''x'')= 3''ax''²+2''bx''+''c'' [[kvadratna funkcija]] kojoj je [[diskriminanta]] <math> 2\sqrt{b^2-3ac}\, </math> , kubna funkcija ima dva [[lokalni ekstrem| lokalna ekstrema]] ( [[lokalni minimum]] i [[lokalni maksimum]]) ako je <math> b^2-3ac >0 \, </math>. Ako je pak <math> b^2-3ac \leq 0 </math>, onda je funkcija strogo monotona. Tada funkcija ima jednu kritičnu točku ako je <math> b^2-3ac =0 </math>, dok za <math> b^2-3ac <0 </math> nema ni jednu.

Kubne funkcije, makar jednostavne, obiluju raznim svojstvima: nultočke, lokalni ekstremi, prijevojne točke, sve kombinacije rasta, pada, konveksnosti i konkavnosti. Zato su pogodne za modeliranje promjene neke veličine u vremenu, ili, općenito, veze među dvjema veličinama, naročito pomoću [[kubni spline|kubnog splinea]] <ref> Doron Levy, Introduction to Numerical Analysis, http://www.math.umd.edu/~dlevy/books/na.pdf</ref>.

Obično se smatra da između kubne funkcije i kubnog polinoma nema nikakve razlike. Strogo matematički gledano, to nije tako. Osim zadavanja pravila prema kojemu djeluje, za funkciju je potrebno naznačiti [[područje definicije]] i [[područje vrijednosti]], dok se polinom zadaje koeficijentima i naznačavanjem područja kojemu koeficijenti pripadaju (u pravilu neki [[komutativni prsten]]). Ostatci 0, 1, 2 pri dijeljenju s 3 čine [[polje]] s obzirom na zbrajanje i množenje modul 3. Izrazima <math> f(x)=x^3+2x \, </math> i <math> f(x)=2x^3+x \, </math> zadana su dva različita polinoma nad tim poljem (jer su koeficijenti različiti). Također, zadane su i dvije funkcije kojima su i područje definicije i skup vrijednosti to polje. Te su dvije funkcije jednake (sve su im vrijednosti jednake nuli). Dakle različiti polinomi, ali jednake funkcije.

Ako su koeficijenti kubnog polinoma racionalni onda se kaže da je to polinom nad [[polje racionalnih brojeva|poljem racionalnih brojeva]]. Općenito, taj se polinom ne može rastaviit na umnožak dvaju polinoma manjeg stupnja s racionalnim koeficijentima, a tek iznimno može. U prvom slučaju polinom nema racionalnih korijena. Tada je njegova [[Galoisova grupa]] [[simetrična grupa]] <math> \mathbb{S}_3</math> ili [[ciklička grupa]] trećeg reda <ref name="Fon">B.L. van der Vaerden, Algebra I, Springer, 2003.({{ISBN |0-387-40624-7}})</ref>.

Ako su u (1) koeficijenti ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' i vrijednosti varijable ''x'' kompleksni brojevi (tada se varijabla obično označava kao ''z''), onda su i vrijednosti funkcije kompleksni brojevi pa je ''f'' [[kompleksna funkcija]] kompleksne varijable, tj. <math> f\colon \mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}</math>. Ona je analitička na cijeloj [[kompleksna ravnina|kompleksnoj ravnini]] ([[cijela funkcija]])<ref>Šime Ungar, Kompleksna analiza,http://web.math.pmf.unizg.hr/~ungar/kompleksna.pdf</ref> <ref name="Hrk">Hrvoje Kraljević, Odabrana poglavlja teorije analitičkih funkcija, Riemannove plohe, http://web.math.pmf.unizg.hr/~hrk/nastava/2011-12/an_funk_2011_12.pdf</ref>. Kompleksna kubna funkcija ima tri različite nultočke, dvije različite (od kojih je jedna dvostruka) ili jednu trostruku nultočku. Računajući kratnosti, svaka kompleksna kubna funkcija ima tri nultočke.

Kubna je funkcija [[meromorfna funkcija]] na [[Proširena kompleksna ravnina| proširenoj kompleksnoj ravnini]] <ref name="Hrk"/> <math> \mathbb{C}\cup\{\infty\}</math> ([[Riemannova sfera| Riemannovoj sferi]]) - ima [[pol]] trećeg reda u [[beskonačnost]]i. Razmatrana kao funkcije s Riemannove sfere na Riemannovu sferu, tako de se definira da je <math>f(\infty)=\infty</math>, ona je holomorfna (analitička je i oko beskonačnosti). Drugim riječima, kompleksna kubna funkcija definira razgranato natkrivanje trećeg stupnja s Riemannove sfere na Riemannovu sferu. Beskonačnost (<math>\infty</math>) je točka grananja tog natkrivanja koje općenito ima tri, iznimno dvije točke grananja (uključujući rečenu točku grananja u beskonačnosti). Općenito, [[grupa monodromije]] izomorfna je [[simetrična grupa|simetričnoj grupi]] <math>\mathbb{S}_3</math>, a iznimno, [[ciklička grupa|cikličkoj grupi]] trećeg reda <ref>Rick Miranda, Algebraic Curves and Riemann Surfaces, Graduate Studies in Mathematics, Vol 5, ({{ISBN |0-8218-0268-2}})</ref>.