Monomorfizam: razlika između inačica

Međutim, općenito nije istina da svi monomorfizmi moraju biti injektivni u drugim kategorijama; to jest, postoje konteksti u kojima su morfizmi funkcije između skupova, ali može postojati i funkcija koja nije injektivna, a ipak je monomorfizam u kategoričkom smislu. Na primjer, u kategoriji '''Div''' djeljivih [[Abelova grupa|(abelovskih) skupina]] i grupnih homomorfizama između njih postoje monomorfizmi koji nisu injektivni: razmotrite, primjerice, kvocijentnu presliku {{Nowrap|''q'' : '''Q''' → '''Q'''/'''Z'''}}, gdje je '''Q''' racionali sa zbrojem, '''Z''' cijeli brojevi (također se smatraju grupom koja se dodaje), a '''Q''' / '''Z''' je odgovarajuća kvocijentna skupina . Ovo nije injektivna karta, kao što je na primjer, svaki cijeli broj mapiran na 0. Ipak, riječ je o monomorfizmu u ovoj kategoriji. To proizlazi iz implikacije {{Nowrap|1=''q'' ∘ ''h'' = 0 ⇒ ''h'' = 0}}, što ćemo sada dokazati. Ako {{Nowrap|''h'' : ''G'' → '''Q'''}}, gdje je ''G'' neka djeljiva skupina, a {{Nowrap|1=''q'' ∘ ''h'' = 0}}, tada je {{Nowrap|''h''(''x'') ∈ '''Z''', ∀ ''x'' ∈ ''G''}} Sada popravite nešto {{Nowrap|''x'' ∈ ''G''}} Bez gubitka općenitosti, možemo pretpostaviti da je {{Nowrap|''h''(''x'') ≥ 0}} (u suprotnom odaberite umjesto - ''x'' ). Onda, ostavljajući {{Nowrap|1=''n'' = ''h''(''x'') + 1}}, budući dajer je ''G'' djeljiva skupina, postoji neki {{Nowrap|''y'' ∈ ''G''}} takav da je {{Nowrap|1=''x'' = ''ny''}}, pa je {{Nowrap|1=''h''(''x'') = ''n'' ''h''(''y'')}} . Iz ovoga i {{Nowrap|1=0 ≤ ''h''(''x'') < ''h''(''x'') + 1 = ''n''}} proizlazi da