Razlika između inačica stranice »Monomorfizam«

Obrisano 7 bajtova ,  prije 1 godinu
m
lektura (budući da -> jer)
m (dodana kategorija Morfizam uz pomoć dodatka HotCat)
m (lektura (budući da -> jer))
Svaki morfizam u konkretnoj kategoriji čija je temeljna [[Funkcija (matematika)|funkcija]] injektivna je monomorfizam; drugim riječima, ako su morfizmi zapravo funkcije između skupova, tada će svaki morfizam koji je injektivna funkcija nužno biti monomorfizam u kategoričkom smislu. U kategoriji skupova vrijedi i obrnuto, tako da su monomorfizmi upravo [[Injektivna funkcija|injektivni]] morfizmi. Obrnuto vrijedi i u većini prirodno stvorenih kategorija algebri zbog postojanja slobodnog objekta na jednom generatoru. Osobito je točno u kategorijama svih skupina, svih prstenova i u bilo kojoj abelovskoj kategoriji .
 
Međutim, općenito nije istina da svi monomorfizmi moraju biti injektivni u drugim kategorijama; to jest, postoje konteksti u kojima su morfizmi funkcije između skupova, ali može postojati i funkcija koja nije injektivna, a ipak je monomorfizam u kategoričkom smislu. Na primjer, u kategoriji '''Div''' djeljivih [[Abelova grupa|(abelovskih) skupina]] i grupnih homomorfizama između njih postoje monomorfizmi koji nisu injektivni: razmotrite, primjerice, kvocijentnu presliku {{Nowrap|''q'' : '''Q''' → '''Q'''/'''Z'''}}, gdje je '''Q''' racionali sa zbrojem, '''Z''' cijeli brojevi (također se smatraju grupom koja se dodaje), a '''Q''' / '''Z''' je odgovarajuća kvocijentna skupina . Ovo nije injektivna karta, kao što je na primjer, svaki cijeli broj mapiran na 0. Ipak, riječ je o monomorfizmu u ovoj kategoriji. To proizlazi iz implikacije {{Nowrap|1=''q'' ∘ ''h'' = 0 ⇒ ''h'' = 0}}, što ćemo sada dokazati. Ako {{Nowrap|''h'' : ''G'' → '''Q'''}}, gdje je ''G'' neka djeljiva skupina, a {{Nowrap|1=''q'' ∘ ''h'' = 0}}, tada je {{Nowrap|''h''(''x'') ∈ '''Z''', ∀ ''x'' ∈ ''G''}} Sada popravite nešto {{Nowrap|''x'' ∈ ''G''}} Bez gubitka općenitosti, možemo pretpostaviti da je {{Nowrap|''h''(''x'') ≥ 0}} (u suprotnom odaberite umjesto - ''x'' ). Onda, ostavljajući {{Nowrap|1=''n'' = ''h''(''x'') + 1}}, budući dajer je ''G'' djeljiva skupina, postoji neki {{Nowrap|''y'' ∈ ''G''}} takav da je {{Nowrap|1=''x'' = ''ny''}}, pa je {{Nowrap|1=''h''(''x'') = ''n'' ''h''(''y'')}} . Iz ovoga i {{Nowrap|1=0 ≤ ''h''(''x'') < ''h''(''x'') + 1 = ''n''}} proizlazi da
 
: <math>0 \leq \frac{h(x)}{h(x) + 1} = h(y) < 1 </math>