Integral: razlika između inačica
Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
Nema sažetka uređivanja Oznake: mobilni uređaj m.wiki |
Oznake: mobilni uređaj m.wiki |
||
Redak 67:
Da bismo razumjeli zašto je tome tako, ovdje navodimo intuitivni pristup ovome problemu. Neka imamo neprekidnu i derivabilnu funkciju <math> f(x). </math> Neka imamo funkciju <math> f'(x) </math> kojoj će očito ulazna vrijednost odgovarati ulaznoj vrijednosti <math> f(x) </math>, a izlazna nagibu sekante određenoj točkama na <math> f(x): </math> <math> A(x, f(x)), B(x + h, f(x + h) </math>. Kada <math> h \rightarrow 0</math> nagib sekante postaje nagib tangente na točku <math> A. </math> Drugim riječima, deriviravši <math> f(x), </math> dobili smo funkciju koja opisuje osjetljivost promjene izlazne vrijednosti u odnosu na promjenu ulazne koja se promijeni za izuzetno mali iznos, <math> h. </math>
Uzmimo sada za primjer s-t graf, tj. neka je <math> s(t) </math> funkcija puta o vremenu koji bilježimo pri neprekinutoj vožnji automobilom. Tu funkciju ćemo promatrati na intervalu <math> [0, k] </math> zamislimo da je <math> h </math> izuzetno malen, ali određen (fiksan) i takav da je <math> k </math> njegov prirodni višekratnik. Tada je očito <math> s(t) </math> rastuća funkcija. Deriviranjem te funkcije na intervalu <math> [0, k] </math> dobili smo funkciju <math> v(t) </math>, funkciju koja ima konačan broj ulaznih vrijednosti <math> [0, h, ..., \frac{k}{h}) </math> i koja za izlazne vrijednosti ima vrijednosti '''prosječnih brzina''' na intervalima funkcije <math> s(t) </math>: <math> [0, h], (h, 2h], ... (\frac{k}{h} - h, \frac{k}{h}]. </math> Time smo dobili konačan broj pravokutnih trapeza određenih vrhovima <math> V_1(nh, 0), V_2(nh, v(nh), V_3((n + 1)h, 0), </math> <math> V_4((n + 1)h, v((n + 1)h), n \in \mathbb{N}. </math> Kako je <math> h </math> vrlo malen, površina trapeza gotovo je jednaka površini pravokutnika <math> h \cdot v(nh). </math>
Uočimo da se sada površina (aproksimalno) može izračunati zbrajanjem površina svih pravokutnika: S = <math> h \cdot v(0) + h \cdot v(h) + h \cdot v(2h) + ... + h \cdot v(\frac{k}{h}). </math> Ključan korak je u tome da je zapravo svaki taj umnožak, odnosno površina, jednaka <math> h \cdot v(nh) </math> '''promjeni puta''' (jer je <math> h \cdot v(nh) = \frac{s_{nh} - s_{(n - 1)h}}{h} = s_{nh} - s_{(n - 1)h} </math>) na intervalu <math> ((n - 1)h, nh]. </math> Dakle, <math> S </math> je zapravo jednak cjelokupno prijeđenom putu za vrijeme <math> t = k. </math>
| |||