Derivacija: razlika između inačica
Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
→Tablica derivacija elementarnih funkcija: Popravljeno; Latex ne podržava oznaku tgx i ctgx. Oznake: mobilni uređaj m.wiki napredni alati |
→Osnovna pravila deriviranja i izvodi: Intuicija Oznake: mobilni uređaj m.wiki |
||
Redak 89:
|}
==Osnovna pravila deriviranja i izvodi==
Ovdje ćemo navesti pravila i dokaze (bez limesa). Ako su funkcije f i g diferencijabilne u točki x, onda vrijedi:▼
▲Ako su funkcije f i g diferencijabilne u točki x, onda vrijedi:
* <math>\left(f(x)+g(x)\right)'=f'(x)+g'(x)</math>
* <math>\left(f(x)-g(x)\right)'=f'(x)-g'(x)</math>
*
* <math>\left(f(x)g(x)\right)'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)</math>▼
''Dokaz.'' Neka je <math> h(x) = f(x) + g(x). </math> Vrijedi <math> dh = f + df + g + dg - (f + f) = df + dg. </math> Sada dijeljenjem s <math> dx </math> slijedi pravilo. Drugi se slučaj dokazuje analogno, stavljajući <math> k(x) := - g(x). </math>
* <math>\left (\frac{f(x)}{g(x)} \right)'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}</math>
''Dokaz.'' Neka je <math> h(x) = f(x)g(x). </math> Vrijedi <math> dh = (f + df)(g + dg) - fg </math> što daje <math> fdg + dfg + dfdg. </math> Sada dijeljenjem s <math> dx </math> izraz <math> \frac{dfdg}{dx} </math> teži u nulu te slijedi pravilo. Ako su <math>f, g </math> obje rastuće i pozitivne može se zamisliti da tražimo stopu promjene površine pravokutnika sa stranicama <math>f, g.</math> Drugi slučaj se dokazuje analogno, stavljajući <math> k(x) := \frac{1}{g(x)}. </math>
* Derivacija složene funkcije (kompozicije):
:<math>(f\circ g)'(x)=(f(g(x)))'=f'(g(x)) \cdot g'(x)</math>
''Dokaz.'' Kada se <math> x </math> promijeni na <math> x + h </math> to uzrokuje promjenu s <math> g(x) </math> na <math> g(x + h. </math> Vrijedi <math> dg = g'(x)dx. </math> Neovisno o tome vrijedi li <math> g(x + h) \leq g(x) </math> ili obrnuto, kada <math> h \rightarrow 0 </math> možemo pričati o derivaciji funkcije <math> f(x) </math> u <math> g(x). </math> Dakle, analogno kao i prije vrijedi <math> df = f'(g(x)) \cdot dg. </math> No, vidjeli smo da je <math> dg = g'(x)dx </math> odakle slijedi pravilo.
Ovo se pravilo može objasniti i na sljedeći način. Tražimo stopu promjene izlazne vrijednosti <math> f </math> i ulazne vrijednosti <math> x. </math> Dakle, <math> dx </math> uzrokuje promjenu <math> dg </math> koja potom uzrokuje promjenu <math> df. </math> Prema tome, vrijedi <math> \frac{df}{dx} = \frac{dg}{dx} \cdot \frac{df}{dg}. </math>
[[Kategorija:Matematička analiza]]
| |||