Binomni koeficijent: razlika između inačica

Dodano 1.685 bajtova ,  prije 1 godinu
m (ref iz podnaslova u tekst)
Oznake: mobilni uređaj m.wiki
[[Datoteka:Binomial_theorem_visualisation.svg|mini|300x300px|Vizualizacija binomnog proširenja do četvrte potencije]]
 
== Neka svojstva binomnih koeficijenata i dokazi ==
 
'''Svojstvo simetrije''':<ref name="M4">Neven Elezović: ''Matematika 4 (udžbenik za IV. razred gimnazije)'', Element, Zagreb, 2000.</ref>{{is|18}}
 
<math>\binom{n}{k} = \binom{n}{n - k}</math>
 
'''Kombinatorni dokaz.'''
Osnovna relacija iz Pascalovog trokuta:<ref name="M4" />{{is|20}}
 
Oznaka <math> \binom{n}{k} </math> predstavlja broj <math>k</math>-članih podskupova <math>n</math>-članog skupa, uz napomenu da, prema definiciji skupa, ''nikoja dva elementa nisu jednaka''. Kako za svaki podskup od <math> k </math> elemenata postoji točno jedan poskup od preostalih <math> n - k</math> elemenata slijedi da vrijedi bijekcija, odnosno da su ovi skupovi ekvipotentni, jednakobrojni.
<math>\binom{n}{k - 1} + \binom{n}{k} = \binom{n + 1}{k}</math>
 
'''Osnovna relacija iz Pascalovog trokuta:'''<ref name="M4" />{{is|20}} ili tzv. '''Pascalovo pravilo''':
 
<math>\binom{n - 1}{k - 1} + \binom{n - 1}{k} = \binom{n + 1}{k}</math>
 
'''Kombinatorni Dokaz.'''
 
Neka tražimo broj <math>k</math>-članih skupova od prvih <math>n</math> prirodnih brojeva (<math> \{1, 2, ..., n \} </math>).
 
Neka je <math>S</math> skup svih takvih <math>k</math>-članih podskupova <math>n</math>-članog skupa. Vrijedi <math>|S| = \binom{n}{k}</math>.
 
Izaberimo neki element <math> x </math> iz <math> \{1, 2, ..., n \} </math>. Neka je <math> S_1 </math> skup podskupova iz <math>S</math> koji sadrže <math>x</math> ima <math>|S_1| = \binom{n - 1}{k - 1}</math> jer preostalih <math> n - 1 </math> brojeva iz <math> \{1, 2, ..., n \} </math> (ne možemo opet birati <math> x </math> jer je očito već sadržan u tim podskupovima) raspoređujemo na preostalih <math> k - 1 </math> mjesto. Neka je pak s druge strane <math> S_2 </math> skup podskupova iz <math> S </math> koji ne sadrže <math> x </math> ima <math>|S_2| = \binom{n - 1}{k} </math> jer sada raspoređujemo sve elemente iz <math> \{1, 2, ..., n\} </math> osim elementa <math> x </math>, njih <math> n - 1 </math>, na svih <math> k </math> mjesta jer na nijednom mjestu nije element <math> x. </math>
 
Očito je <math> |S_1| + |S_2| = |S| </math>, čime je tvrdnja dokazana.
 
== Binomni koeficijent u matematičkoj analizi ==