Teorija kategorija: razlika između inačica
Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
Redak 49:
=== Funktori i prirodne transformacije ===
Za svake dvije kategorije, ''C'' i ''D'', funktor ''F'':''C'' → ''D'' se sastoji od para preslikavanja, ''F''<sub>0</sub>:Ob(''C'') → Ob(''D'') i ''F''<sub>1</sub>:Mor(''C'') → Mor(''D'')
neka funkcija ''F''<sub>''c'',''x''</sub> iz Mor(''c'',''x'') u Mor(''F''<sub>0</sub>(c),''F''<sub>0</sub>(x)) i pri tome se zahtijevaju
dva uvjeta kompatibilnosti: grubo rečeno, ''F''<sub>1</sub> šalje identite u identitete, a kompozicije u kompozicije.
Za svaka dva funktora ''F''<sub>0</sub>, ''G''<sub>0</sub>:Ob(''C'') → Ob(''D'') tada možemo govoriti o '''prirodnoj transformaciji''' (
U daljem razvoju teorije obično se izostavljaju indeksi <sub>0</sub> i <sub>1</sub> u ''F''<sub>0</sub>, ''F''<sub>1</sub>.
Uvjet prirodnosti zapravo je bio osnovna motivacija za uvođenje pojma kategorije, jer se često pojavljivao, a nije bilo jasno kakav opći kontekst izražava taj uvjet.
Line 57 ⟶ 61:
Nije teško poopćiti pojam funktora na funktor više varijabli. U slučaju dvije varijable ponekad kažemo bifunktor. Bifunktori s varijablama u kategorijama ''C'' i ''D'' i s vrijednostima u kategoriji ''E'' identificiramo s običnim funktorima iz kartezijevog produkta kategorija ''C'' x ''D'' u kategoriju ''E''.
U starijoj literaturi funktori su se nazivali kovarijantnim funktorima, a uz njih je upotrebljavan i pojam kofunktora ili kontravarijantnog funktora. No, podaci za '''kontravarijantan funktor''' iz ''C'' u ''D''
Kažemo da je funktor spregnut (adjungiran) slijeva funktoru ili ekvivalentno da je funktor <math>F:C\to D</math> spregnut (adjungiran) zdesna funktoru <math>G:D\to C</math> (i kraće govorimo da su ta dva funktora u sprezi ili da čine par spregnutih (adjungiranih) funktora) ako postoji sprezanje ili adjunkcija <math>G\dashv F</math>. Sprezanje je struktura koja je zadana parom prirodnih izomorfizama funktora <math>\eta:Id_C\to G\circ F</math> i <math>\epsilon:F\circ G\to Id_D</math> koji zadovoljavaju trokutne identitete, <math>\epsilon_{F(c)}\circ F(\eta_c) = id_{F(c)} : F(c) \to F(c)</math> i <math>G(\epsilon_d)\circ \eta_{G(d)} = id_{G(d)} : G(d)\to G(d)</math> za sve izbore objekata <math>c\in Ob(C),d\in Ob(D)</math>. Alternativno, sprezanje možemo definirati/zadati izborom bijekcija
<math>C(G d, c)\cong C(d, F c)</math> za sve objekte <math>c\in Ob(C)</math> i <math>d\in Ob(D)</math> i koje zadovoljava uvjet prirodnosti u obje varijable, <math>c</math> i <math>d</math>. Ako zadani funktor dopušta njemu slijeva spregnuti funktor tada je on jedinstven do na prirodni izomorfizam funktora. Ako zadani funktor dopušta njemu zdesna spregnuti funktor, on je također jedinstven do na prirodni izomorfizam funktora. Kažemo da je funktor Frobeniusov ako dopušta funktor koji je s njim u sprezi i zdesna i slijeva.
Kažemo da je funktor <math>F</math> vjeran ako je svaka komponenta<math>F_{c,c'}:Mor(c,c')\to Mor(F(c),F(c'))</math> funktora na skupovima morfizama injekcija. Kažemo da je funktor (pot)pun ako je svaka komponenta <math>F_{c,c'}:Mor(c,c')\to Mor(F(c),F(c'))</math> funktora na skupovima morfizama surjekcija. Kažemo da je funktor <math>F</math> esencijalno surjektivan ako njegov dio na objektima <math>F_0:Ob(C)\to Ob(D)</math> zadovoljava slijedeći uvjet: za svaki objekt <math>d\in Ob(D)</math> postoji objekt <math>c\in Ob(C)</math> i izomorfizam (invertibilni morfizam) <math>F_0(c)\to d</math>.
=== Ekvivalencija kategorija ===
| |||