Teorija kategorija: razlika između inačica

Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
Redak 53:
dva uvjeta kompatibilnosti: grubo rečeno, ''F''<sub>1</sub> šalje identite u identitete, a kompozicije u kompozicije.
 
Za svaka dva funktora ''F''<sub>0</sub>, ''G''<sub>0</sub>:Ob(''C'') → Ob(''D'') tada možemo govoriti o '''prirodnoj transformaciji''' (ili u suvremenoj literaturi naprosto transformacija) ili '''morfizam funktora''' η : ''F'' →''G'' kao familiji morfizama η<sub>''x''</sub> : ''F''<sub>0</sub>(''x'')→''G''<sub>0</sub>(''x'') u ''D'', indeksiranim s ''x'' u Ob(''C''), pri čemu se zahtijeva da za svaki morfizam ''f'' : ''a'' → ''b'' u ''C'' vrijedi tzv. '''uvjet prirodnosti''': ''G''<sub>1</sub>(''f'') o η<sub>''a''</sub>= η<sub>''b''</sub> o ''F''<sub>1</sub>(''f'') : ''F''<sub>0</sub>(''a'')→''G''<sub>0</sub>(''b''). Morfizam η<sub>''x''</sub> zovemo '''komponentom prirodne transformacije''' η na objektu ''x''.
 
U daljem razvoju teorije obično se izostavljaju indeksi <sub>0</sub> i <sub>1</sub> u ''F''<sub>0</sub>, ''F''<sub>1</sub>.
Redak 63:
U starijoj literaturi funktori su se nazivali kovarijantnim funktorima, a uz njih je upotrebljavan i pojam kofunktora ili kontravarijantnog funktora. No, podaci za '''kontravarijantan funktor''' iz ''C'' u ''D'' su zapravo podaci za običan (kovarijantni) funktor iz suprotne kategorije <math>C^\circ</math> u ''D''.
 
Kažemo da je funktor spregnut (adjungiran) slijeva funktoru ili ekvivalentno da je funktor <math>F:C\to D</math> spregnut (adjungiran) zdesna funktoru <math>G:D\to C</math> (i kraće govorimo da su ta dva funktora u sprezi ili da čine par spregnutih (adjungiranih) funktora) ako postoji '''sprezanje''' ili '''adjunkcija''' <math>G\dashv F</math>. Sprezanje funktora je struktura koja je zadana parom prirodnih izomorfizama funktora <math>\eta:Id_C\to G\circ F</math> i <math>\epsilon:F\circ G\to Id_D</math> koji zadovoljavaju trokutne identitete, <math>\epsilon_{F(c)}\circ F(\eta_c) = id_{F(c)} : F(c) \to F(c)</math> i <math>G(\epsilon_d)\circ \eta_{G(d)} = id_{G(d)} : G(d)\to G(d)</math> za sve izbore objekata <math>c\in Ob(C),d\in Ob(D)</math>. Alternativno, sprezanje možemo definirati/zadati izborom bijekcija
<math>C(G d, c)\cong C(d, F c)</math> za sve objekte <math>c\in Ob(C)</math> i <math>d\in Ob(D)</math> i koje zadovoljava uvjet prirodnosti u obje varijable, <math>c</math> i <math>d</math>. Ako zadani funktor dopušta njemu slijeva spregnuti funktor tada je on jedinstven do na prirodni izomorfizam funktora. Ako zadani funktor dopušta njemu zdesna spregnuti funktor, on je također jedinstven do na prirodni izomorfizam funktora. Kažemo da je funktor Frobeniusov ako dopušta funktor koji je s njim u sprezi i zdesna i slijeva.
 
Kažemo da je funktor <math>F</math> '''vjeran''' ako je svaka komponenta<math>F_{c,c'}:Mor(c,c')\to Mor(F(c),F(c'))</math> funktora na skupovima morfizama injekcija. Kažemo da je funktor '''(pot)pun''' ako je svaka komponenta <math>F_{c,c'}:Mor(c,c')\to Mor(F(c),F(c'))</math> funktora na skupovima morfizama surjekcija. Kažemo da je funktor <math>F</math> '''esencijalno surjektivan''' ako njegov dio na objektima <math>F_0:Ob(C)\to Ob(D)</math> zadovoljava slijedeći uvjet: za svaki objekt <math>d\in Ob(D)</math> postoji objekt <math>c\in Ob(C)</math> i izomorfizam (invertibilni morfizam) <math>F_0(c)\to d</math>.
 
=== Ekvivalencija kategorija ===