Razlika između inačica stranice »Fibonaccijev broj«

Dodano 2.987 bajtova ,  prije 9 mjeseci
bez sažetka
Oznake: mobilni uređaj m.wiki
U [[matematika|matematici]], '''Fibonaccijevi brojevi''' oblikuju [[niz]] definiran sljedećom [[rekurzivna relacija|rekurzivnom relacijom]]:
[[Datoteka:FibonacciBlocks.svg|mini|desno|250px|Popločanje s kvadratima čije su stranice po duljini sukcesivni Fibonaccijevi brojevi]]
[[Datoteka:Fibonacci spiral 34.svg|desno|250px|mini|Fibonaccijeva spirala, stvorena iscrtavanjem lukova koji spajaju suprotne kuteve kvadrata u Fibonaccijevom popločanju prikazanom gore – vidjeti [[zlatna spirala]].]]
 
U [[matematika|matematici]], '''Fibonaccijevi brojevi''' oblikuju [[niz]] definiran sljedećom [[rekurzivna relacija|rekurzivnom relacijom]]:
:<math>
F(n):=
\end{cases}
</math>
To jest, nakon dvije početne vrijedosti, svaki sljedeći broj je zbroj dvaju prethodnika: 2+3 dat će 5, 3+5 dat će 8, 5+8 dat će 13 itd. Prvi Fibonaccijevi brojevi {{OEIS|id=A000045}}, također označeni kao ''F<sub>n</sub>'', za ''n''&nbsp;=&nbsp;0,&nbsp;1, … , su:
: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269…
 
Dakle, nakon dvije početne vrijedosti, svaki sljedeći broj je zbroj dvaju prethodnika. Primjerice, <math> 2 + 3 </math> dat će <math> 5 </math>, <math> 3 + 5 </math> dat će <math> 8 </math>, itd.
Ponekad se za ovaj niz smatra da počinje na ''F''<sub>1</sub> = 1, ali uobičajenije je uključiti ''F''<sub>0</sub> = 0.
 
Prvi Fibonaccijevi brojevi, također označeni kao <math> F_n </math>, za <math> n = 0, 1, 2, ... </math> su redom <math> 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... </math>
 
PonekadUobičajeno je da se za ovaj niz smatra da počinje na ''F''<sub>1</submath> F_1 = 1 </math>, ali uobičajenijemože jese uključiti ''F''<sub>0</submath> F_0 = 0 </math>.
 
[[Datoteka:FibonacciBlocks.svg|mini|desno|250px|Popločanje s kvadratima čije su stranice po duljini sukcesivni Fibonaccijevi brojevi]]
[[Datoteka:Fibonacci spiral 34.svg|desno|250px|mini|Fibonaccijeva spirala, stvorena iscrtavanjem lukova koji spajaju suprotne kuteve kvadrata u Fibonaccijevom popločanju prikazanom gore – vidjeti [[zlato|zlatna]] [[spirala]].]]
 
Fibonaccijevi brojevi su imenovani po [[Fibonacci|Leonardu od Pise]], poznatom kao [[Fibonacci]], iako su ranije opisani u [[Indijska matematika|Indiji]].<ref>Parmanand Singh. Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers. Math . Ed. Siwan , 20(1):28-30,1986.{{ISSN|0047-6269}}]</ref><ref>Parmanand Singh,"The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India. Historia Mathematica v12 n3, 229–244,1985</ref>
 
== Varijacije niza ==
Možemo konstruirati nove nizove za koje neće nužno vrijediti <math> F_1 = F_2 = 1 </math> kao što to vrijedi za Fibobaccijev niz. No,
željet ćemo da osnovno pravilo pravilo <math> F_n = F_{n - 2} + F_{n - 1}</math> vrijedi za te nizove. Uočimo da je neki takav niz <math> a_{F_1, F_2} </math> zadan ako su zadani <math> F_1, F_2 \in \mathbb{N} </math> Takve nizove možemo zvati Fibonaccijevoliki nizovi.
 
=== Primjeri ===
Ovdje su primjeri takvih nizova:
<math> a_{(5,5)} = 5, 5, 10, 15, 35, ... </math>,
<math> a_{(3, 8)} = 3, 8, 11, 19, ... </math>,
no može biti i <math> F_2 < F_2 </math> kao npr.
<math> a_{(4, 2)} = 4, 2, 6, 8, ... </math>
 
== Diferencija Fibonaccijeve trojke ==
 
Tri utastopna člana <math> F_{n}, F_{n + 1}, F_{n + 2}</math> Fibonaccijevog niza zajednički zovemo Fibobaccijeva trojka. Uočimo da za <math> n \in \{2, 3, ...\} </math> vrijedi <math> F_{n} < F_{n + 1} < F_{n + 2}. </math>
(Za <math> n = 1 </math> sustav nejednakosti <math> F_n < F_{n + 1} < F_{n + 2} </math> ipak ne vrijedi ako niz počinje s <math> F_2 \leq F_1.</math>)
 
Dakle, intuitivno je da vrijedi <math> F_nF_{n + 2} \approx F_{n + 1}F_{n + 1}. </math>
Označimo s <math> D = F_nF_{n + 2} - F_{n + 1}F_{n + 1}. </math>
 
Pretpostavimo sada da su <math> F_1 \leq F_2 </math> dva početna broja niza za kojeg vrijedi osnovni identitet iz Fibonaccijevog niza.
 
Hoće li umnožak 1. i 3. člana (<math> F_n \cdot F_{n + 2} </math>) neke trojke biti veći odnosno manji od kvadrata srednjeg člana (<math> F_{n + 1} </math>) te trojke isključivo ovisi o ''razlici'' <math> d </math> 1. i 2. člana tog niza, <math> d = F_2 - F_1 </math>.
 
Ispišimo prvih nekoliko članova tog niza: <math> F_1 = x, F_2 = x + d, F_3 = 2x + d, F_4 = 3x + 2d, ... </math>
 
Razlika <math> (x + x + d)x - x \cdot x </math> je jednaka <math> x \cdot x + (x + d)x - x \cdot x = (x + d)x. </math>
 
=== Slučaj 1.,<math> F_1 = F_2 </math> ===
Ovdje će vrijediti <math> F_nF_{n + 2} = F_{n + 1}F_{n + 1} + (- 1)^nF^2, </math> tj. vrijedit će <math> D = F^2 </math> ako je <math> n </math> paran, odnosno <math> D = - d^2 </math> ako je neparan. (1)
 
''Dokaz.''
Uočimo da je <math> d = 0. </math>
Ispišimo nekolio članova ovog niza: <math> x, x, x + x, (x + x) + x, ... = x, x, 2x, 3x, ...</math> Za prvu trojku <math> T_1 = (x, x, x + x) </math> vrijedi (1) jer je <math> D = (x + x)x - xx = xx = x^2 = F^2. </math> Za sljedeću trojku <math> T_2 = (x, 2x, 3x) </math> računamo <math> D = ((x + x) + x)x - (x + x)(x + x), </math> odakle je <math> D = - xx = - F^2. </math> Slično se provjeri za <math> T_3 = (2x, 3x, 5x) </math> pa se (1) lako dokaže matematičkom indukcijom.
 
Dakle, vrijedit će <math> D(T_1) = F^2, D(T_2) = - F^2, D(T_3) = F^2, ... </math>
 
=== Slučaj 2., <math> F_1 < F_2 </math> ===
Fibonaccijevi brojevi su imenovani po Leonardu od Pise, poznatom kao [[Fibonacci]], iako su ranije opisani u [[Indijska matematika|Indiji]].<ref>Parmanand Singh. Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers. Math . Ed. Siwan , 20(1):28-30,1986.{{ISSN|0047-6269}}]</ref><ref>Parmanand Singh,"The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India. Historia Mathematica v12 n3, 229–244,1985</ref>
Slično se dokazuje da u ovom slučaju vrijedi <math> D = F_1^2 - (F_1 + d)d. </math> Odavde vidimo da ako je <math> d < F_1 </math> će biti <math> D(T_{2k - 1})> 0, D(T_{2k}) < 0</math> za <math> k \in \mathbb{N} </math>, a ako je <math> d > F_1 </math> vrijedit će obratno.
 
== Fibonnacijev niz u prirodi ==