Razlika između inačica stranice »Fibonaccijev broj«

Dodano 905 bajtova ,  prije 8 mjeseci
Oznake: mobilni uređaj m.wiki
Oznake: mobilni uređaj m.wiki
 
Vrijedi <math> F_{n - 1}F_n = F_{n + 1}^2 + (- 1)^n. </math> Ovo se pravilo naziva ''Cassinijev identitet''.
 
== Povezanost sa zlatnim rezom ==
Ako imamo dvije [[Dužina|dužine]], jednu dužu i jednu kraću te ako je [[omjer]] duljina duže na prema kraćoj dužini jednak [[Zlatni rez|zlatnom rezu]] (<math> \approx 1.618 </math>), tada je zlatnom rezu jednak i omjer zbroja duljina duže i kraće dužine na prema duljini kraće.
 
Vidjet ćemo da se slična relacija može naći u omjerima triju uzastopnih Fibonaccijevih broja, <math> F_{n - 1}, F_n, F_{n + 1}. </math> Naime, iz Cassinijevog identiteta [[dijeljenje|dijeljenjem]] obje strane s <math> F_{n - 1}F_n, </math> slijedi <math> \frac{F_n}{F_{n - 1}} = \frac{F_{n + 1}}{F_n} + \frac{(- 1)^n}{F_{n - 1}F_n}. </math>
 
Kada <math> n \rightarrow \infty </math> možemo zanemariti drugi pribrojnik pa dobivamo <math> \frac{F_n}{F_{n - 1}} = \frac{F_{n + 1}}{F_n} </math> što zadovoljava povijesnu (geometrijsku) definiciju zlatnog reza navedenu gore.
 
== Varijacije Fibonaccijevog niza ==