Vektorski prostor: razlika između inačica
Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
Nema sažetka uređivanja |
Nema sažetka uređivanja |
||
Redak 1:
'''Vektorski''' ili '''linearni prostor''' je jedan od osnovnih [[algebra|algebarski]] pojmova u matematici i osnovni objekt proučavanja u grani algebre, [[linearna algebra|linearnoj algebri]].
Primjene su široke uključujući u temeljnim disciplinama kao što su [[matematička analiza|analiza]] i [[analitička geometrija]]. Definira se na sljedeći način:
Redak 9:
Na skupu ''F × V'' definirano je množenje vektora skalarom, tj. preslikavanje ''F × V → V'', koje svakom skalaru <math>\alpha \in F</math> i svakom vektoru <math>x \in V</math> pridružuje vektor <math>\alpha x\in V</math>, tako da vrijede sljedeći aksiomi:
:'''''(I)''''' <math>\alpha (\beta
:'''''(II)''''' <math> \alpha (
:'''''(III)''''' <math> (\alpha + \beta )
:'''''(IV)''''' <math>
Ovako se definirano preslikavanje zove množenje vektora skalarom, dok se ''V'' opremljen tim preslikavanjem naziva '''vektorski prostor''' nad poljem ''F'' ili ''F''-vektorski prostor.
Ponekad se promatraju i vektorski prostori nad [[tijelo (algebra)|tijelom]], dakle u većoj općenitosti kad je ''F'' tijelo.
Uobičajeno je da se vektorski prostori nad poljem realnih odnosno kompleksnih brojeva nazivaju realni, odnosno kompleksni vektorski prostori, a nad tijelom [[kvaternion]]a, kvaternionski vektorski prostori.
Neka je <math>S\subset V</math> podskup skupa vektora vektorskog prostora. Kažemo da je vektor <math>\vec{v}</math> linearna kombinacija elemenata od <math>S</math> ako se da napisati u obliku
<math>\alpha_1 \vec{v}_1 + \ldots + \alpha_k \vec{v}_k</math> gdje je <math>k</math> prirodni broj (ili nula) i gdje su <math>v_1,\ldots, v_k\in S</math> i <math>\alpha_1,\ldots,\alpha_k\in F</math>. Također možemo reći da je
<math>\alpha_1 \vec{v}_1 + \ldots + \alpha_k \vec{v}_k</math> linearna kombinacija vektora <math>v_1,\ldots, v_k</math>.
Kažemo da je <math>W\subset V</math> je vektorski (ili linearni) potprostor ako je svaka linearna kombinacija vektora iz <math>W</math> i sama u <math>W</math>. Ako je <math>S\subset V</math> ma koji skup vektora, tada je njegova '''linearna ljuska''' <math>Span_F(S)</math> skup svih vektora koji su linearne kombinacije vektora iz <math>S</math>. To je ujedno najmanji vektorski potprostor koji sadrži <math>S</math>.
Preslikavanje <math>L: V\to W</math> među skupovima vektora dva vektorska prostora <math>V</math> i <math>W</math> nad istim poljem ili tijelom <math>F</math> zovemo '''aditivnim''' ako <math>L(\vec{v}_1+\vec{v}_2) = L(\vec{v}_1)+L(\vec{v}_2)</math> za svaka dva vektora <math>v_1,v_2\in V</math>, '''homogenim''' ako <math>L(\alpha\vec{v}) = \alpha L(\vec{v})</math> za sve <math>\alpha\in F, \vec{v}\in V</math> i '''linearnim''' ako je i aditivno i homogeno preslikavanje. Linearno preslikavanje među skupovima vektora dvaju vektorskih prostora, nazivamo i linearnim operatorom (ili linearnom transformacijom) među vektorskim prostorima. Riječ linearni u sintagmi linearni operator se često i izostavlja.
Ukoliko je ''F'' polje, skup ''A'' opremljen [[djelovanje (algebra)|djelovanjem]] <math>A \times V\to A, a\mapsto t_v(a)</math> (translacija za vektor) Abelove grupe ''V'' zovemo afini prostor (nad poljem ''F'') ukoliko je to djelovanje slobodno i tranzitivno. Elemente od ''A'' zovemo točkama afinog prostora. Rezultat djelovanja vektora <math>\vec{v}\in V</math> na točki <math>a</math> označavamo s <math>t_{\vec{v}}(a)</math> ili <math>a + \vec{v}</math> i tumači se kao translacija točke <math>a</math> za vektor <math>\vec{v}</math>. Uvjet slobodnosti znači da ako je <math>a +\vec{v} = a</math> za neki <math>a</math> tada je <math>\vec{v} = \vec{0}</math>. Uvjet tranzitivnosti znači da za svake dvije točke <math>a,b\in A</math> postoji vektor <math>\vec{v}\in V</math> takav da je <math>a + \vec{v} = b</math>. Slobodnost povlači da je taj vektor jedinstven i označava se ponekad s <math>\vec{v} = b - a</math>. To reproducira klasično određenje slobodnog vektora kao razreda ekvivalencije usmjerenih dužina, naime usmjerena dužina je određena uređenim parom točaka <math>(a,b)</math> (krajevi usmjerene dužine), a dvije usmjerene dužine su ekvivalentne ako se spojnica početka prve i kraja druge usmjerene dužine i spojnica početka druge i kraja prve dužine sijeku u jednoj točki koja ih raspolavlja.
▲Uobičajeno je da se vektorski prostori nad poljem realnih odnosno kompleksnih brojeva nazivaju realni, odnosno kompleksni vektorski prostori, a nad tijelom [[kvaternion]]a, kvaternionski vektorski prostori.
Konačno-dimenzionalni vektorski prostor u kojem je definiran [[skalarni produkt]] naziva [[Euklid]]ski vektorski prostor.
|