Iracionalni broj: razlika između inačica

Racionalni brojevi su '''gusto''' poredani po brojevnom pravcu, ali ga ipak ne ispunjavaju. Postoji mnogo točaka (iracionalnih brojeva)) koje se ne mogu izmjeriti jediničnom dužinom (nisu sumjerljive s jediničnom dužinom). Primjer: prikaz √2 na brojevnom prapravcu.

== zEuklidov dokaz ==

[[Euklid]] je svojevremeno dokazdokazao da korijen od 2 ne može biti racionalan, na sljedeći način:

* pustimodopustimo da korijen od 2 jest racionalan (vidi [[dokaz|dokaz kontradikcijom]]).

* onda je &radic;2 = ''n''/''m'', gdje su ''n'' i ''m'' [[cijeli broj]]evi koji nemaju zajedničkog [[djelitelj]]a (jer bi inače razlomak mogli skratiti). Ali onda <math>\frac{n^2}{m^2} = 2</math>, <math>n^2 = 2m^2</math>, gdje ''n'' i ''m'' su cijeli brojevi. Vidi se jasno da je <math>n^2</math> dijeljiv s 2. Međutim, to bi podrazumijevalo da je i ''n'' dijeljiv s 2 jer samo parni brojevi proizvode kvadrate koji su dijeljivi s 2 (<math>4^2 = 16</math>, na primjer, ali <math>5^2 = 25</math>; dokaz nije složen).

* aranSad je pitanje: je li ''m'' paran ili ne? Ako je ''n'' dijeljiv s 2, onda <math>n = 2r</math>, i <math>(2r)^2 = 2m^2</math>, <math>4r^2 = 2m^2</math>. Ovo pak znači <math>2r^2 = m^2</math> i ''m'' je dijeljiv s 2. Ali sad smo došli do zaključka da su i ''m'' i ''n'' dijeljivi s 2, pa se razlomak može skratiti s 2; došli smo do kontradikcije. Stoga, korijen iz 2 je iracionalan.