Kompleksni broj: razlika između inačica
Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
m novi ključ za kategoriju Kompleksni brojevi: " " uz pomoć dodatka HotCat |
m WP:HTML5 |
||
Redak 3:
[[Zbrajanje]], [[množenje]] i dijeljenje kompleksnih brojeva [[definicija|definira]] se formulama:
<div style="text-align:center;"><math>(a_1+b_1i)+(a_2+b_2i)=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i</math></
<div style="text-align:center;"><math>(a_1+b_1i)(a_2+b_2i)=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i</math></
<div style="text-align:center;"><math> \frac{a_1+b_1i}{a_2+b_2i} = \frac{a_1a_2+b_1b_2}{a_2^2 +b_2^2} + \frac{a_2b_1-a_1b_2}{a_2^2+b_2^2} \cdot i</math></
U kompleksnom broju <math>z=a+bi</math> broj <math>a</math> se naziva realni dio, piše se <math>a = Re(z)</math>, a broj <math>b</math> je imaginarni dio, i piše se <math>b = Im(z)</math>.
Redak 15:
Ništa manje važna nije primjena kompleksnih brojeva na čisto matematičke probleme. Tako na primjer, za određivanje korijena [[kubna jednadžba|kubne jednadžbe]] potrebne su operacije s kompleksnim brojevima. Povijesno, kompleksni su brojevi uvedeni radi rješavanja [[kvadratna jednadžba|kvadratne jednadžbe]]. Kvadratna ili bilo koja [[jednadžba]] višeg stupnja ako ima kompleksna rješenja, ta će rješenja uvijek doći u konjugiranim parovima - imaginarni dio im je suprotan. Činjenica da kompleksni brojevi ne izražavaju veličine dala je povoda za idealističko tumačenje kompleksnih brojeva (G. [[Leibnitz]]). Velika zasluga u smislu materijalističkog tumačenja kompleksnih brojeva pripada L. [[Euler]]u. Kompleksni broj se aksiomatski definira kao [[uređen par]] realnih brojeva <math>(a,b)</math>. Formule zbrajanja, množenja, dijeljenja se [[postulat|postuliraju]] ovako:
<div style="text-align:center;"><math>(a,b)+(x,y)=(a+x,b+y)\,</math>,</
<div style="text-align:center;"><math>(a,b) \cdot (x,y)=(ax-by,ay+bx)</math>,</
<div style="text-align:center;"><math> \frac{(a,b)}{(x,y)} = ( \frac{ax+by}{x^2+y^2}, \frac{bx-ay}{x^2+y^2})</math>.</
Par <math>(0,1)</math> se naziva imaginarna jedinica i označava simbolom <math>i</math>. Iz potonjih formula slijedi da je <math>i^2=-1</math>. Operacije nad kompleksnim brojevima zadovoljavaju obične zakone komutativnosti, distributivnosti i asocijativnosti (kao i u slučaju realnih brojeva). Međutim, operacije nad kompleksnim brojevima pod radikalima (korijenima) donekle se razlikuju od analognih operacija s realnim brojevima. Tako je
<div style="text-align:center;"><math>-1=i^2= \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} \not= \sqrt{(-1)(-1)}=1</math>.</
== Trigonometrijski oblik ==
Ponekad je kompleksne brojeve pogodno pisati u trigonometrijskom obliku:
<div style="text-align:center;"><math>a+bi= \rho (\cos \phi +i \sin \phi )\,</math>,</
<math> \rho = \sqrt{a^2+b^2}, \ \phi = \arctan \frac{b}{a}</math>, za <math>a>0</math> i <math> \phi = \pi + \arctan \frac{b}{a}</math> za <math>a<0</math>; kada je <math>a=0</math> onda je <math> \phi = \frac{ \pi}{2}</math>, ako je <math>b>0</math> i <math> \phi =- \frac{ \pi}{2}</math>, ako je <math>b<0</math>. Broj <math> \rho</math> se naziva [[modul]] kompleksnog broja, a <math> \phi</math> je [[argument]] kompleksnog broja. Množiti kompleksne brojeve je vrlo pogodno baš u ovom obliku: u množenju kompleksnih brojeva množe se njihovi moduli, a argumenti se zbrajaju. Iz ovog pravila proizlazi [[De Moivre]]ova formula:
<div style="text-align:center;"><math>( \cos \phi +i \sin \phi )^n= \cos n \phi +i \sin n \phi\,</math> .</
Kompleksni se brojevi često predstavljaju [[vektor]]ima u [[kompleksna ravnina|kompleksnoj ravnini]] (slika dolje). Geometrijski smisao brojeva <math>a,b, \rho,\phi</math> vidi se na [[crtež]]u. U zbrajanju kompleksnih brojeva njihovi vektori se zbrajaju po [[pravilo paralelograma|pravilu paralelograma]].
Redak 40:
Kompleksni brojevi u trigonometrijskom obliku su usko povezani s eksponencijalnom funkcijom imaginarnog argumenta. Vrijedi sljedeća [[Eulerova formula]]:
<div style="text-align:center;"><math>e^{i\phi}=\cos\phi+i\sin\phi \,</math>;</
preko nje se definira [[stupnjevanje]] kompleksnih brojeva, [[logaritam]] kompleksnog broja i dr.
| |||