Posljednji Fermatov poučak: razlika između inačica

Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
sitne corr.
m mrvicu jasnije
Redak 1:
{{Wikiprojekt 10000/Ikona}}
[[Datoteka:Diophantus-II-8-Fermat.jpg|mini|Izdanje [[Diofant|Diofantove]] ''Aritmetike'' iz 1670. godine s dodanim Fermatovim opažanjem (lat. ''Observatio domini Petri de Fermat'') o nemogućnosti razlaganja kuba prirodnog broja na zbroj kubova drugih dvaju prirodnih brojeva, niti ijedne druge više potencije na zbroj istih potencija dvaju prirodnih brojeva.]]
'''Posljednji Fermatov poučak''', poznat i kao '''veliki Fermatov poučak''', jedan je od najpoznatijih [[Poučak|teorema]] u povijesti [[Matematika|matematike]]. Teorem kaže da se ne''n''-ta mogu naći tri[[potencija]] [[Prirodni broj|prirodnaprirodnog broja]] ne može razložiti na zbroj ''n''-tih potencija dvaju drugih prirodnih brojeva čim je eksponent ''n'' veći od dva, odnosno da je nemoguće naći tri prirodna broja ''a'', ''b'' i ''c'' takva da je za ''n''>2 zbroj<div style="text-align:center">''a<sup>n</sup>'' + ''b<sup>n</sup>'' jednak= ''c<sup>n</sup>''.</div>
 
Za slučajeve ''a''+''b''=''c'' i ''a''<sup>2</sup>+''b''<sup>2</sup>=''c''<sup>2</sup> od [[Antika|antike]] je bilo znano da imaju beskonačno mnogo rješenja.<ref>{{Citiranje knjige|title=Fermat's enigma: the quest to solve the world's greatest mathematical problem|author=Simon Singh|date=1997|url=https://www.worldcat.org/oclc/36969738|language=en|location=New York|isbn=0-8027-1331-9}}</ref> Rješenja za ''n''=2 nazivala su se [[Pitagorin poučak#Pitagorine trojke|Pitagorine trojke]].
 
== Povijest ==
Poučak je [[Pierre de Fermat]] oko 1637. godine zapisao kao propoziciju na margini [[Diofant|Diofantove]] knjige ''Aritmetika'', ali za nj nije ponudio [[Matematički dokaz|dokaz]], pod izlikom da za to nema mjesta. Više od tri stotine godina matematičari su pokušavali dokazati ili opovrgutiopovrgnuti teorem. [[Leonhard Euler|Euler]] ga je dokazao za ''n''=3, Fermat za ''n''=4, [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Dirichlet]] i [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] za ''n''=''5'', [[Gabriel Lamé|Lamé]] za ''n''=''7'', a [[Sophie Germain]] za sve eksponente ''n'' koji su [[prosti brojevi]] i za koje je 2''n''+1 također prost.<ref>{{Citiranje weba|url=https://mathworld.wolfram.com/FermatsLastTheorem.html|title=Fermat's Last Theorem|author=Eric Weisstein|work=mathworld.wolfram.com|language=en|accessdate=2021-03-02}}</ref><ref>{{Citiranje weba|url=http://www.mathos.unios.hr/~mdjumic/uploads/diplomski/IVA32.pdf|title=Veliki Fermatov teorem|archiveurl=https://web.archive.org/web/20210302024645/http://www.mathos.unios.hr/%7Emdjumic/uploads/diplomski/IVA32.pdf|archivedate=2021-03-02|author=Iva Ivanković|year=2011|format=PDF|publisher=Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku|accessdate=2021-03-02}}</ref> Teorem je, kao posljednji preostali Fermatov teorem bez dokaza, tek 1994. godine naprednim matematičkim metodama iz područja modularnih forma, eliptičnih krivulja i Galoisovih reprezentacija dokazao [[Andrew Wiles]] i za to 2016. godine dobio [[Abelova nagrada|Abelovu nagradu]].<ref>{{Citiranje weba|url=https://www.abelprize.no/c67107/binfil/download.php?tid=67059|title=The Abel prize 2016|work=abelprize.no|format=PDF|language=en|publisher=The Norwegian Academy of Science and Letters|accessdate=2021-03-01}}</ref><ref>{{Citiranje weba|url=http://www.ams.org/notices/199507/faltings.pdf|title=The Proof of Fermat’s Last Theorem by R. Taylor and A. Wiles|author=Gerd Faltings|language=en|publisher=American Mathematical Society|accessdate=2021-03-01}}</ref>
 
== Proširenja teorema na putu k dokazu ==
[[Datoteka:Pierre de Fermat.png|mini|[[Pierre de Fermat]]]]
[[Datoteka:Andrew wiles1-3.jpg|mini|Andrew Wiles u [[Sveučilište Princeton|Princetonu]] 2005. godine]]
Teorem se može iskazati na još nekoliko jednakovrijednih načina koji proširuju skup rješenja za ''a'', ''b'' i ''c'' na sve cijele brojeve ili sve racionalne brojeve različite od nule, zadržavajući uvjet da je ''n'' prirodan broj veći od 2, odnosno da je ''n'' prost broj veći od 2 jer je rano bilo jasno da se tvrdnja za neproste eksponente može svesti na proste:
 
* ''a<sup>n</sup>'' + ''b<sup>n</sup>'' = ''c<sup>n</sup>'' u skupu cijelih brojeva nema netrivijalnih rješenja, uto skupujest cijelihrješenja brojevakoja ne sadrže nulu. Za paran ''n'' svako negativno rješenje u izrazu bi davalo jednak doprinos kao i pozitivni parnjak, a prema izvornoj tvrdnji rješenja s takvim pozitivnim parnjacima nema. Za neparne ''n'', ako bi jedno od rješenja bilo negativno, ono bi bilo ili ''a'' ili ''b'', no tada bi se jednadžba mogla zapisati kao −(−''a'')<sup>''n''</sup>''+''(''b'')<sup>''n''</sup> =(''c'')''<sup>n</sup>'' za negativan ''a'' [i ekvivalentno za negativan ''b''], odnosno (''b'')<sup>''n''</sup> =(−''a'')<sup>''n''</sup>''+''(''c'')''<sup>n</sup>'' što je početni oblik jednadžbe za pozitivne brojeve (−''a''), (''c'') i (''b'') za koju nema rješenja. Sličnim se rasuđivanjem pokaže da za neparni ''n'' negativni ''a'' i ''c'' ili ''b'' i ''c'' vode na istu jednadžbu za pozitivne brojeve (b), (−''c'') i (−''a'') ili (a), (−''c'') i (−''b''), jednako kao i za posljednji preostali slučaj kad su ''a'', ''b'' i ''c'' svi negativni.
* ''a<sup>n</sup>'' + ''b<sup>n</sup>'' = ''c<sup>n</sup>'' nema netrivijalnih rješenja u skupu racionalnih brojeva jer bi se jednadžba mogla pomnožiti ''n''-tom potencijom zajedničkog višekratnika triju nazivnika razlomaka ''a'', ''b'' i ''c'' i tako svesti na jednadžbu za cijele brojeve, a onda i za prirodne.
* ''a<sup>n</sup>'' + ''b<sup>n</sup>'' = 1 nema netrivijalnih rješenja u skupu racionalnih brojeva, jer se jednadžba sličnim rasuđivanjem može svesti na jednadžbu za tri prirodna broja za koju nema rješenja; ovaj oblik je bio posebno plodonosan u potrazi za dokazom jer se problem mogao svesti na pitanje o krivuljama u dvije umjesto u tri dimenzije, te zbog bogatije algebarske strukture [[Polje (matematika)|polja]] racionalnih brojeva od strukture [[Prsten (matematika)|prstena]] cijelih brojeva.