Wilsonov teorem: razlika između inačica
Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
Oznake: mobilni uređaj m.wiki |
Oznake: mobilni uređaj m.wiki |
||
Redak 19:
= P </math> ima svoj multiplikativni inverz modulo <math> p, </math> osim faktora koji su sami sebi inverzni modulo <math> p. </math> Nađimo sve takve faktore. Neka je <math> S = \{1, 2, ..., p - 1\} </math> te neka je <math> x \in S </math> za koji vrijedi <math> x^2 \equiv 1 \pmod n. </math> Tada <math> p \mid (x - 1)(x + 1) . </math> Kako je <math> p </math> prost i <math> p \leq x \leq p - 1 </math> slijedi (prema Euklidovoj lemi) da postoje samo dva takva broja <math> p = x - 1 \iff x = p + 1 </math> ili <math> p = x + 1 \iff x = p - 1. </math> No, <math> p + 1 \not\in S, </math> ali su prema gornjoj lemi rješenja svi brojevi kongruentni s <math> p + 1 </math> modulo <math> p. </math> Očito je onda i broj <math> 1 \in S, </math> uz <math> p - 1 \in S, </math> rješenje gornje kvadratne kongruencije. (Ovo se moglo zaključiti i preko toga da je jedini element iz <math> S </math> koji zadovoljava <math> p \mid x - 1 </math> upravo broj <math> 1 </math> i slično jedino <math> p - 1 </math> zadovoljava <math> p \mid x + 1. </math>)
Sada je jasno da brojeve <math> 2, 3, ..., p - 2 </math> možemo rasporediti u parove (na jedinstveni način) tako da je umnožak brojeva u svakom paru kongruentan <math> 1 </math> modulo <math> p. </math> Dakle, jedino faktori broja <math> P </math> koji ostanu nespareni su <math> 1, p - 1 </math> pa je <math> P \equiv 1 \cdot 1 \cdot (p - 1) \pmod p. </math> Prema tome, <math> (p - 1)! \equiv p - 1 \equiv - 1 \pmod p, </math> što je i trebalo dokazati.<ref>
== Zanimljivosti ==
| |||