Razlika između inačica stranice »Fibonaccijev broj«

Dodano 2.614 bajtova ,  prije 4 mjeseca
Oznake: mobilni uređaj m.wiki
Oznake: mobilni uređaj m.wiki
 
Kada <math> n \rightarrow \infty </math> možemo zanemariti drugi pribrojnik pa dobivamo <math> \frac{F_n}{F_{n - 1}} = \frac{F_{n + 1}}{F_n} </math> što zadovoljava povijesnu (geometrijsku) definiciju zlatnog reza navedenu gore.
 
== Veza s Morseovim kodom ==
[[Morseov kod]] je niz točaka i crtica. Duljinu Morseovog koda definiramo tako da svaka točka pridonosi duljinu 1, a svaka crtica duljinu 2.
 
Prema tome, ako imamo Morseov kod duljine ''n'', onda možemo zamisliti da imamo ''n'' pozicija od kojih su neke spojene crticama, a na ostalima se nalaze točke.
 
Zato možemo zamisliti da je crtica zapravo spojnica dviju točaka, ali dvije crtice ne mogu stajati jedno pored druge (razmak mora biti najmanje jedna ili više točaka).
 
Označimo sada s <math>M_n</math> broj svih Morseovih kodova duljine
<math>n</math>. Dokazat ćemo relaciju <math>M_n = M_{n - 1} + M_{n - 2}</math> koja je posve ekvivalentna rekurzivnoj formuli Fibonaccijeva niza.
 
Naime, Morseov kod duljine <math>n</math> može započetu točkom (takvih ima
<math>M_{n - 1}</math>) ili crticom (takvih ima <math>M_{n - 2}</math>). Dakle, očito je <math>M_n = M_{n - 1} + M_{n - 2}</math> te vrijedi <math>M_1 = 1</math>, <math>M_2 = 2</math> iz čega slijedi direktna veza s Fibonaccijevim nizom: <math>M_n = F_{n + 1}</math>.
 
=== Važni identiteti ===
Vrijedi:
:<math>F_{m + n} = F_{m - 1}F_n + F_mF_{n + 1}</math>
 
Dokaz.
Gore smo pokazali da je <math>F_{m + n}</math> jednak broju <math>M_{m + n - 1}</math> svih Morseovih kodova duljine <math>m + n - 1</math>.
 
Uočimo sada u svakom takvom kodu
<math>(m - 1)</math>-vu i <math>m</math>-tu poziciju. Morseove kodove ćemo podijeliti na one koji imaju crticu između te dvije pozicije i na one koji ju nemaju.
 
Jasno je da kod koji ima crticu između <math>(m - 1)</math>-ve i
<math>m</math>-te pozicije može na prve <math>m - 2</math> pozicije imati bilo kakav Morseov kod, a potom mora imati crticu, a zatim na zadnjih <math>(m + n - 1) - m = n - 1</math> pozicija može ponovno imati bilo kakav Morseov kod pa takvih kodova očigledno ima <math>M_{n - 2}M_{n - 1} = F_{m - 1}F_n</math>. S druge strane, kod koji nema crticu između <math>( - 1)</math>-ve i <math>m</math>-te pozicije može na prvih <math>m - 1</math> pozicija imati bilo kakav
Morseov kod, kao i na zadnjih
<math>(m + n - 1) - (m - 1) = n</math> pozicija. Zato takvih kodova ima <math>M_{m - 1}M_n = F_mF_{n + 1}</math>, čime je identitet dokazan.
 
Od ostalih identiteta s Fibonaccijevim brojevima koji su vezani uz Morseov kod, po važnosti se ističu sljedeći:
 
* <math>F_{2n} = F^2_{n + 1} - F^2_{n - 1}</math>,
* <math>F_{2n + 1} = F^2_n + F^2_{n + 1}</math>,
* <math>F_1 + F_2 + ... + F_n = F_{n + 2} - 1</math>.<ref>Za dokaze, pogledati knjigu od akademika Andreja Dujelle, ''Teorija brojeva'', Školska knjiga, 2019.</ref>
 
== Varijacije Fibonaccijevog niza ==