Linearna nezavisnost

Linearna nezavisnost vektora je temeljni pojam u linearnoj algebri koji se odnosi na jedinstvenost prikaza nekog vektora $v$ u vektorskom prostoru $V$ nad nekim poljem $\mathbb {F}$. Konkretnije, kažemo da je vektor $v$ linearno nezavisan ako i samo se $v$ ne može prikazati kao linearna kombinacija preostalih vektora iz $V$ koji nisu u obliku $\alpha v$ gdje $\alpha \in \mathbb {F} .$ U protivnom kažemo da je $v$ linearno zavisan.

Konačnodimenzionalni slučaj

Neka je $B=\{v_{1},v_{2},...,v_{n}\}$ baza vektorskog prostora $V$. Tada je svaki $v_{i}$ linearno nezavisan od preostalih $v_{j},i\neq j$.

Zato se i skup $\{v_{1},v_{2},...,v_{n}\}$ nazivlje bazom jer je linearnom kombinacijom vektora $v_{1},v_{2},...,v_{n}$ moguće dobiti svaki vektor iz vektorskog prostora $V$.

Osnovni teorem

Skup vektora $v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V$ linearno je nezavisan ako i samo postoje skalari $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}$, ne svi jednaki nuli, takvi da je $\alpha _{1}v_{1}+\alpha _{2}v_{2}+...+\alpha _{n}v_{n}=0$.

Primjeri

Jedan od zornih geometrijskih primjera vektorskog prostora je svakako skup usmjerenih dužina u realnoj ravnini, $\mathbb {R} ^{2}$ sa svojim pravilima za zbrajanje vektora i množenjem skalarima. Nije teško geometrijski pokazati da je taj skup zaista jedan vektorski prostor.

Znajući pravilo za zbrajanje vektora i poznavajući elementarnu geometriju, lako je zaključiti da bazu $\mathbb {R} ^{2}$ čine točno dva nekolinearna vektora, neka su to $i,j$. Tada kažemo da su $i,j$ linearno nezavisni. Naime, svaku drugu usmjerenu dužinu u $\mathbb {R} ^{2}$ moguće je dobiti linearnom kombinacijom baznih vektora $i,j$.

Kartezijev koordinatni sustav

Geometrijski, odabirom vektora $i,j$ mijenjamo oblik koordinatnog sustava. No, tom transformacijom sve dužine (i pravci) koje su bile paralelne, i ostale su paralelne te je ishodište ostalo na svome mjestu (jer je $\alpha _{1}i+\alpha _{2}j=0$ povlači $\alpha _{1}=\alpha _{2}=0$).

Takav izmijenjeni Kartezijev koordinatni sustav često se naziva kosokutni koordinatni sustav, jer vektori $i,j$ ne moraju činiti pravi kut.