Matematička analiza: razlika između inačica

U teoriji linearnih operatora na konačno-dimenzionalnom kompeksnom vektorskom prostoru ili, ekvivalentno, matrica kompleksnih brojeva, promatraju se spektar ili skup [[Svojstvena vrijednost|svojstvenih vrijednosti]] linearnog operatora ili matrice, te pripadajući [[Svojstveni vektor|svojstveni vektori]]. U problemima mehanike, svojstveni vektori matematički izražavaju normalne modove linearnih oscilacija mehaničkih sustava, pa je njihovo nalaženje dakle izvorno dio harmonijske analize. Teorija svojstvenih vrijednosti se netrivijalno proširuje s matrica, na izvjesne klase operatora na beskonačno dimenzionalnom kompleksnom Hilbertovom prostoru, općenitije na skupove međusobno komutirajućih matrica (potonje je važno za [[kvantan mehanika|kvantnu mehaniku]]) i, još općenitije, na Banachove algebre operatora i apsktraktne kompleksne Banachove algebre, što čini spektralnu teoriju. Spektar samodjungiranog operatora ima i prirodnu topologiju, što dovodi do pojma Geljfandove transformacije za (ne nužno komutativne) Banachove algebre. Geljfandova transformacija komutativne unitalne Banachove algebre nad kompleksnim brojevima je [[kompaktan prostor (matematika)|kompaktan Hausdorffov prostor]]; pridruživanje prostora komutativnoj Banachovoj algebri prirodno se proširuje do [[teorija kategorija|antiekvivalencije kategorija]] između kompleksnih unitalnih komutativnih Banachovih algebri i kategorije kompaktnih Hausdorffovih topoloških prostora, što je sadržaj Geljfand-Najmarkovog teorema dokazanog 1938. godine, a koji je kasnije inspirirao pojam Grothendieckovog prostog spektra u [[algebarska geometrija|algebarskoj geometriji]] uveden oko 1957, te nešto kasnije i nekomutativnu geometriju. Spektralna svojstva laplasijana (Laplaceovog operatora) na Riemannovim mnogostrukostima daje značajnu geometrijsku informaciju o mnogostrukosti, a u slučaju Spin-mnogostrukosti još više informacija dolazi od tzv. Diracovog operatora. Time mnoga svojstva prostora možemo zamijeniti uvođenjem dovoljno dobrog apstraktnog operatora na Hilbertovom prostoru. Te obzervacije su korisne ne samo za geometriju Riemannovih mnogostrukosti, no i kao motivacija za poopćenja kao što su [[spektralna trojka|spektralne trojke]] [[Alain Connes|Alaina Connesa]], koje utjelovljuje novi i vrlo plodni pojam nekomutativne Riemnnove Spin-mnogostrukosti u nekomutativnoj diferencijalnoj geometriji.