David Hilbert: razlika između inačica

Poznat primjer njegovog rada u matematici je njegova prezentacija [[1900.]] godine gdje je predstavio zbirku od 23 problema koja je odredila smjer istraživanja u matematici tokom 20. stoljeća. Sa svojim studentima dao je značajan doprinos u osnovama kvantne mehanike i teorije relativnosti. Također je poznat kao jedan od utemeljitelja teorije dokaza, matematike logike i razlikovanja između matematike i metamatematike.

Hilbert je bio jedini sin Otta i Marije Therese (Erdtmann) Hilbert, rođen u Wehlau (Znamensk) kraj [[Kalinjingrad|Königsberga]] u tadašnjoj [[Pruska|Pruskoj]]. U jesen [[1872.]] upisuje Friedrichskolleg gimnaziju (istu školu koju je 140 godina prije njega pohađao [[Immanuel Kant]]), ali se [[1879.]] prebacio i [[1880.]] završio [[znanost|znanstveno]] orijentiraniju [[gimnazija|gimnaziju]] u Wilhelmu. U jesen iste godine upisuje fakultet u Königsbergu. Tamo se sprijateljio sas talentiranim Hermannom Minkowskim.

Godine [[1884.]] Adolf Hurwitz, sas fakulteta u [[Göttingen]], postaje izvanredni profesor na fakultet u Königsbergu. Od tada njihova međusobna razmjena znanstvenih ideja ima značajan utjecaj na njihove znanstvene karijere. Hilbert je doktorirao [[1885.]] godine, sas dizertacijom "O nepromjenjivim svojstvima posebnih binarnih formi, sa naglaskom na sferne harmonijske funkcije" ([[njemački jezik|njem.]] ''Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen'').

Na istom fakultetu ostaje kao profesor od [[1886.]] do [[1895.]] godine. Oženio se [[1892.]] sas Käthe Jerosch s kojom je imao jednog sina. Godine [[1895.]] na nagovor Felixa Kleina dolazi na poziciju predstojnika katedre za matematiku na fakultetu u Göttingenu, u to vrijeme najboljem centru za znanstvena istraživanja u području matematike na svijetu, gdje ostaje do umirovljenja [[1930.]] godine. Njegov najbolji prijatelj, Minkowski umire [[1909.]] godine.

Hilbert je doživio [[nacizam|nacističke]] progone mnogih uvaženih članova fakulteta [[1933.]] godine, među njima i Hermanna Weyla, koji ga je naslijedio na katedri nakon umirovljenja [[1930.]] godine. Njemačku je morao napustiti i Paul Bernays, njegov suradnik na području matematičke logike i koautor značajne knjige Die Grundlagen der Mathematik (izdane [[1934.]] i [[1939.]] godine). To je bio nastavak knjige Hilberta i Ackermanna Načela teorijske logike iz [[1928.]] godine. Do Hilbertove smrti [[1943.]] godine, nacisti su otjerali većinu znanstvenika sas fakulteta tako da je njegovom sprovodu prisustvovala samo nekolicina akademika.

Hilbertov prvi rad na nepromjenljivim funkcijama doveo ga je [[1888.]] do poznatog teorema konačnosti. Dvadeset godina ranije, Paul Gordan je demonstrirao teorem o konačnosti generatora binarnih oblika koristeći vrlo komplicirane proračune koji su onemogućili poopćavanje same metode na funkcije sas više od dvije varijable. Hilbert je uočio potrebu sasvim drugačijeg pristupa. Kao rezultat demonstrirao je „Hilbertov osnovni teorem“ koji pokazuje postojanje konačnog skupa generatora neovisno o broju varijabli, u apstraktnom obliku.

Hilbertov osnovni teorem kaže da ako je k polje, tada je svaki [[ideal]] u prstenu sastavljenom od više varijabilnih polinoma. k[x1, x2, ..., xn] konačno generiran. Gledano u algebarskoj geometriji, algebarski skup nad k može biti opisan kao zajednički skup rješenja konačno mnogo polinomijalnih jednadžbi.

Hilbert je došao do dokaza kontradikcijom koristeći se matematičkom indukcijom. Njegova metoda nam ne daje algoritam koji će proizvesti konačno mnogo osnovnih polinoma za dani ideal, nego samo pokazuje njihovo postojanje.

Za , ako je , an ≠ 0, tada degf: = n i an je vodeći koeficijent od f . Neka I bude ideal u R[x] i pretpostavimo da I nije konačno generiran.Tada induktivno konstruiramo niz f1,f2,... elemenata od I takav da fi + 1 ima minimalan stupanj među elementima od , gdje je Ji ideal generiran od f1,...,fi.

Neka je ai vodeći koeficijent od fi i neka je J ideal od R generiran od niza a1,a2,.... Pošto je R Noetherian postoji N takav da je J generiran od a1,...,aN.

Zbog toga za neke . Postigli smo kontradikciju ako znamo gdje je ni = degfN + 1 − degfi, zbog degg = degfN + 1 i njihovi vodeći koeficijenti odgovaraju, tako da je fN + 1 − g strogo manjeg stupnja od degfN + 1, a to je u kontradikciji sas izborom fN + 1. Na taj način dobivamo da je I konačno generiran. Pošto smo za I uzeli proizvoljan ideal u R[x], svaki ideal u R[x] je konačno generiran i slijedi da je R[x] Noetherian.

To je bio dokaz postojanja konačnog skupa generatora, a ne proračun i oslanjao se na zakonu ekskluzivne sredine u beskonačnosti. Objavljivanje tog rada u Mathematische Annalen mu je odbijeno s razlogom da nije sveobuhvatan i potpun te da se uopće ne radi o matematici. Hilbert je u sljedećem članku, kojeg opet šalje u Annalen, proširio svoju metodu dajući proračune o maksimalnom stupnju minimalnog seta generatora. Taj rad je ocijenjen kao najznačajnije djelo u području opće algebre koje je časopis ikada objavio.

Geometrija može tretirati stvari, o kojima imamo snažnu intuiciju, ali nije nužno pridijeliti ekplicitno značenje nedefiniranim konceptima. Elementi kao što su: točka, dužina, ravnina i ostali mogu se zamijeniti, kao što je Hilbert rekao stolovima, stolicama, čašama piva i ostalim takvim objektima. Bitan je samo njihov definirani odnos.

Hilbert prvi označava nedefinirane koncepte: točka, linija, ravnina, leži na (odnos između točaka i ravnina), između, kongruencija parova točaka i kongruencija kutova. Aksiomi ujedinjavaju geometriju ravnine i geometriju prostora u jedan sistem.

Hilbert je prezentirao, u obliku govora „ Problemi Matematike“, listu neriješenih problema na internacionalnom kongresu matematičara u [[Pariz]]u [[1900.]] godine, koju je kasnije proširio na 23 problema. Tim govorom je želio zaokružiti matematički jako uspješno [[19. stoljeće]] i predvidjeti razvoj matematike u budućnosti. Tom prilikom je rekao:

“Ako vjerujem u razvoj matematičkog znanja u bliskoj budućnosti, moramo se

pozabaviti nedovršenim pitanjima i riješiti probleme koje zadaje današnja znanost,

a čija rješenja očekujemo.”

“Znamo da svako stoljeće nosi svoje probleme koje sljedeće stoljeće rješava ili zamjenjuje novim.”

Hilbert je smatrao da su dva najveća dostignuća u prethodnom stoljeću: razvoj aritmetike kontinuuma, kojoj su doprinijeli Cauchy, Bolcano i Cantor, i prihvaćanje neeuklidske geometrije Gausa, Bolyaia i Lobačevskog.

koja treba istražiti. Drugi su pak puno konkretniji i riješeni su jako brzo. Ima ionih koji su riješeni suprotno Hilbertovim očekivanjima, ali i onih o kojima se i danas jako malo zna.

jednadžba, sa s proizvoljno mnogo nepoznatih i sa s racionalnim koeficijentima, riješiti u

Istraživanjima u samim osnovama geometrije nameće se problem: da li je moguće promatrati, kao aksiome, ona saznanja u fizici u kojima matematika igra bitnu ulogu; tu se prije svega misli na teoriju relativnosti i mehaniku. Hilbert je smatrao da bi bilo dobro kada bi njihova praktična saznanja bila logična nadogradnja teorije koja je zasnovana na usuglašenim aksiomima.

Ovaj program je prepoznatljiv u popularnoj filozofiji matematike gdje se obično naziva formalizam. Naprimjer, Bourbaki (skupina [[Francuska|francuskih]] matematičara 20. stoljeća) grupa prihvatila je selektivnu verziju programa kao prikladnu za zahtjeve njihovog dvojnog projekta koji se sastojao od:pisanja pregleda temeljnih radova i podržavanje aksiomatske metode kao istraživačkog pomagala. Ovaj pristup bio je uspješan u vezi sas Hilbertovim radovima u području algebre i funkcionalne analize, ali nije uspio privući interest na području fizike i logike.

Hilbert i njegovi talentirani matematičari s kojima je radio bili su potpuno predani svom radu. Nastojali su poduprijeti aksiomatiziranu matematiku sas definiranim principima, kojima su mogli izbaciti sve nesigurnosti u teoriji, ali na kraju ipak nisu uspjeli.

Sljedeća dostignuća teorije dokaza , u najmanju ruku, razjašnjavaju dosljednost koja se odnosi na teorije kojima su matematičari zaokupljeni. Hilbert svojim radom započinje logički pristup razjašnjavanju problema. Potreba za razumijevanje Gödelovog rada, na kraju dovodi do razvoja rekurzivne teorije i matematičke logike kao zasebne discipline u 1930-ima.

Oko [[1909.]] godine, Hilbert se posvećuje istraživanju diferencijalnih i integralnih [[Jednadžba|jednadžbi]], te je tako izravno utjecao na veliki dio moderne funkcionalne analize. Kako bi proveo svoja istraživanja, Hilbert uvodi koncept beskonačno dimenzionalnog Euklidovog prostora, kasnije nazvanog Hilbertov prostor. Njegov rad u ovom području analize daje važan doprinos [[matematika|matematici]] u [[fizika|fizici]]. Kasnije je Stefan Banach proširio njegov koncept te ga nazvao Banach-ov prostor. Koncept Hilbertov prostor je najvažnija ideja u području funkcionalne analize u dvadesetom stoljeću.

Matematički koncept Hilbertovog prostora generalizira pojam Euklidovog prostora na način da proširuje metode vektorske algebre sas 2-dimenzionalnog i 3-dimenzionalnog prostora na beskonačno dimenzionalan prostor. To je apstraktni [[vektor]]ski prostor u kojemu udaljenosti i [[kut]]ovi mogu biti izmjereni i cijeli se nalaze u tom prostoru.

Još jedan od razloga uspjeh Teorije Hilbertovog prostora je i u činjenici da: Iako se mogu razlikovat po podrijetlu i izgledu, većina Hilbertovih prostora gledano u matematici i fizici, su samoumnožena manifestacija jednog odvojenog Hilbertovog.

Do [[1912.]] godine, Hilbert je bio isključivo matematičar. Čak ga je i njegov prijatelj i kolega matematičar Hermann Minkowski, koji se u [[Bonn]]u bavio istraživanjima u fizici, šalio da bi trebao provesti 10 dana u karanteni prije nego lišto posjeti Hilberta. Zapravo, Minkowski je najviše zaslužan za većinu Hilbertovih istraživanja u fizici do [[1912.]] godine, uključujući njihov zajednički seminar [[1905.]] godine.

Tri godine nakon što je umro Minkowski, Hilbert se skoro potpuno posvetio fizici. Počinje istraživati teoriju kinetike [[plin]]ova, a poslije se prebacuje na istraživanje osnova [[radijacija|radijacije]] i [[Molekula|molekularnemolekula]]rne teorije tvari. Čak i u vrijeme rata prisustvuje predavanjima [[Albert Einstein|Alberta Einsteina]] i drugih fizičara.

Nadalje, njegov rad je omogućio napredak u matematičkoj formulaciji [[Kvantna mehanika|kvantne mehanike.]] Hermann Weylovo i John von Neumannovo promatranje Hilbertovog rada bilo je ključno za njihov rad na matematičkoj ekvivalenciji Heisenbergove matrične mehanike i Schrödingerove valne jednadžbe, gdje Hilbertov prostor odigrava važnu ulogu u kvantnoj teoriji. Godine [[1926.]] von Neuman je pokazao da ako na atomska stanja gledamo kao na vektore u Hilbertovom prostoru, tada će oni odgovarati Schrödingerovoj teoriji valnih funkcija i Heisenbergovim matricama.

Napravio je mnogo pretpostavki na klasičnoj teoriji polja. Taj koncept je bio vrlo utjecajan, a njegov doprinos se najbolje vidi po nazivima Hilbertova klasa polja i Hilbertovog simbola za lokalnu klasičnu teoriju polja.

Da bi netko dobio Paul Erdősov broj ,treba biti koautor nekog matematičkog članka s autorom koji posjeduje Erdősov broj. Kako to izgleda vidi se na sljedećem prikazu: Ako Ana surađuje sas Paul Erdősom na jednom članku, a sas Markom na drugom, a da pri tom Marko nikad ne surađuje sa samim Erdősom. Marko će dobiti Erdős broj 2 jer je dva koraka udaljen od Erdősa.