Kubna funkcija: razlika između inačica

Obrisano 39 bajtova ,  prije 7 mjeseci
RpA: WP:NI, WP:HRV
(Broj spašenih izvora: 1; broj poveznica koje su označene kao mrtve: 0) #IABot (v2.0.8.5)
(RpA: WP:NI, WP:HRV)
 
'''Kubna funkcija''' u matematici je svaka [[funkcija]] oblika
:<math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \qquad(1)</math>,
gdje je ''a'' različito od nule. Pripadna jednadžba <math>f(x)=0</math> je [[kubna jednadžba]]. U pravilu, a naročito u nastavi matematike u srednjoj školi, misli se na [[realna funkcija|realnu funkciju]] [[varijabla|realne varijable]], što znači da su [[koeficijent]]i ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' realni brojevi, a vrijednosti varijable ''x'' realne. Od sada se, ukolikoako izrijekom ne bude rečeno drukčije, razmatraju samo takve funkcije <ref>Jelena Gusić, Petar Mladinić, Boris Pavković, Matematika 2, za 2. razred za prirodoslovno-matematičke gimnazije, Školska knjiga, Zagreb, 2006.({{ISBN|953-0-21345-X}})</ref>
 
==Karakteristične vrijednosti kubne funkcije ==
[[Image:Polynomialdeg3.svg|thumb|right|300px||<center><math>f(x) = (x^3 +3x^2 - 6x - 8)/4\, \!</math><center>]]
Kubna funkcija kao i svaka druga polinomna funkcija ima neke karakteristične vrijednosti koje u [[koordinatni sustav|koordinatnom sustavu]] na [[graf funkcije|grafu funkcije]] predočavaju [[nultočka|nultočke]], ekstreme ili prijevojne točke (slika desno).
 
===Nultočke kubne funkcije===
Kubna funkcija može imati tri nultočke, dvije nultočke od kojih je jedna dvostruka, jednu trostruku nultočku ili jednu (jednostruku) nultočku. Misli se na realne nultočke, a ako se dopuste i kompleksne, onda u posljednjem slučaju, uz rečenu realnu, postoje još i dvije kompleksno-konjugirane. Dakle, uvijek postoji bar jedna realna nultočka. Geometrijski, nultočke se očitavaju iz grafa funkcije: to su prve koordinate točaka u kojima graf funkcije siječe (odnosno dira) ''x''-os. Tako za funkciju <math> f(x):= (x^3 +3x^2 - 6x - 8)/4 \, </math> nultočke su redom brojevi -4, -1, 2, što se vidi i iz grafa koji siječe ''x''-os redom u točkama (-4,0), (-1,0), (2,0). Sve se očituje i na rastavu na faktore: <math> x^3 +3x^2 - 6x - 8 =(x+4)(x+1)(x-2)\, </math>. Drugu mogućnost ilustrira funkcija <math> f(x):= x^3 -2x^2 +x =x(x-1)^2 \, </math>. Tu je 0 jednostruka, a 1 dvostruka nultočka. U koordinatnom sustavu to se očituje tako što graf siječe ''x''-os u točki (0,0),a dodiruje je u točki (1,0) gdje je nultočka dvostruka. Funkcija kubiranja <math> f(x):= x^3 \, </math> kojoj je 0 trostruka nultočka, najjednostavniji je primjer treće mogućnosti. Konačno, posljednju mogućnost ilustrira funkcija <math> f(x):= x^3 +x=x(x^2+1)=x(x+i)(x-i) \, </math>. Vidi se da je 0 jedina (realna) nultočka, dok su ''-i'',''i'' kompleksno-konjugirane.
 
===Ekstremi kubne funkcije i prijevojna točka===
[[kritična točka (matematika)|Kritične točke]] funkcije jesu one (realne) vrijednosti od ''x'' za koje je prva [[derivacija]] jednaka nuli .<ref>Sanja Antoliš, Aneta Copić, Matematika 4, udžbenik sa zbirkom zadatataka za 4. razred prirodoslovnih gimnazija, Školska knjiga, Zagreb, 2006. ({{ISBN|953-0-21349-2}})</ref>.
Kako je ''f'''(''x'')= 3''ax''<sup>2</sup>+2''bx''+''c'' [[kvadratna funkcija]] kojoj je [[diskriminanta]] <math> 2\sqrt{b^2-3ac}\, </math> , kubna funkcija ima dva [[lokalni ekstrem|lokalna ekstrema]] ( [[lokalni minimum]] i [[lokalni maksimum]]) ako je <math> b^2-3ac >0 \, </math>. Ako je pak <math> b^2-3ac \leq 0 </math>, onda je funkcija strogo monotona. Tada funkcija ima jednu kritičnu točku ako je <math> b^2-3ac =0 </math>, dok za <math> b^2-3ac <0 </math> nema ni jednu.
[[Prijevojna točka]] (točka infleksije) funkcije ''f'' (odnosno njenog grafa) je točka <math>(x_0,f(x_0))</math> tako da je druga derivacija od ''f'' u ''x<sub>0</sub>'' jednaka nuli. Kako je ''f''''(''x'')=6''ax''+2''b'', kubna funkcija ima jedinstvenu prijevojnu točku i to za <math> x_0=-\frac{b}{3a} \, </math>, koja je ujedno i kritična ako je <math> b^2-3ac=0 \, </math>, inače nije. Graf kubne funkcije uvijek se sastoji od konveksnog i konkavnog dijela, koji se sastaju u prijevojnoj točki. Ako je ''a'' pozitivan prvo dolazi konkavni, a ako je negativan, konveksni dio. Za funkciju ''f'' prikazanu grafom je
<math>f'(x)=3x^2+6x-6</math> dok je <math>f''(x)=6x+6</math>. Rješavajući pripadne jednadžbe dobije se da su lokalni ekstremi u <math>x_{1,2}=-1\pm\sqrt{3}</math>, dok je prijevojna točka za <math>x_0=-1</math> u (-1,0), što se može nazrijeti i iz grafa. Iz grafa se nazire i da je u
<math>-1-\sqrt{3}</math> lokalni maksimum, dok je za <math>-1+\sqrt{3}</math> lokalni minimum. To se može potvrditi i pomoću predznaka druge derivacije.
 
==Primjena kubne funkcije ==
Kubne funkcije, makar jednostavne, obiluju raznim svojstvima: nultočke, lokalni ekstremi, prijevojne točke, sve kombinacije rasta, pada, konveksnosti i konkavnosti. Zato su pogodne za modeliranje promjene neke veličine u vremenu, ili, općenito, veze među dvjema veličinama, naročito pomoću [[kubni spline|kubnog splinea]] .<ref>Doron Levy, Introduction to Numerical Analysis, http://www.math.umd.edu/~dlevy/books/na.pdf {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150421174123/http://www2.math.umd.edu/~dlevy/books/na.pdf |date=21. travnja 2015. }}</ref>.
 
==Veza s kubnim polinomom ==
Obično se smatra da između kubne funkcije i kubnog polinoma nema nikakve razlike. Strogo matematički gledano, to nije tako. Osim zadavanja pravila prema kojemu djeluje, za funkciju je potrebno naznačiti [[područje definicije]] i [[područje vrijednosti]], dok se polinom zadaje koeficijentima i naznačavanjem područja kojemu koeficijenti pripadaju (u pravilu neki [[komutativni prsten]]). Ostatci 0, 1, 2 pri dijeljenju s 3 čine [[polje]] s obzirom na zbrajanje i množenje modul 3. Izrazima <math> f(x)=x^3+2x \, </math> i <math> f(x)=2x^3+x \, </math> zadana su dva različita polinoma nad tim poljem (jer su koeficijenti različiti). Također, zadane su i dvije funkcije kojima su i područje definicije i skup vrijednosti to polje. Te su dvije funkcije jednake (sve su im vrijednosti jednake nuli). Dakle različiti polinomi, ali jednake funkcije.
 
===Kubni polinom nad poljem racionalnih brojeva===
Ako su koeficijenti kubnog polinoma racionalni onda se kaže da je to polinom nad [[polje racionalnih brojeva|poljem racionalnih brojeva]]. Općenito, taj se polinom ne može rastaviit na umnožak dvaju polinoma manjeg stupnja s racionalnim koeficijentima, a tek iznimno može. U prvom slučaju polinom nema racionalnih korijena. Tada je njegova [[Galoisova grupa]] [[simetrična grupa]] <math> \mathbb{S}_3</math> ili [[ciklička grupa]] trećeg reda .<ref name="Fon">B.L. van der Vaerden, Algebra I, Springer, 2003.({{ISBN|0-387-40624-7}})</ref>.
 
== Kompleksna kubna funkcija ==
Ako su u (1) koeficijenti ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' i vrijednosti varijable ''x'' kompleksni brojevi (tada se varijabla obično označava kao ''z''), onda su i vrijednosti funkcije kompleksni brojevi pa je ''f'' [[kompleksna funkcija]] kompleksne varijable, tj. <math> f\colon \mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}</math>. Ona je analitička na cijeloj [[kompleksna ravnina|kompleksnoj ravnini]] ([[cijela funkcija]]).<ref>Šime Ungar, Kompleksna analiza,http://web.math.pmf.unizg.hr/~ungar/kompleksna.pdf</ref><ref name="Hrk">Hrvoje Kraljević, Odabrana poglavlja teorije analitičkih funkcija, Riemannove plohe, http://web.math.pmf.unizg.hr/~hrk/nastava/2011-12/an_funk_2011_12.pdf</ref>. Kompleksna kubna funkcija ima tri različite nultočke, dvije različite (od kojih je jedna dvostruka) ili jednu trostruku nultočku. Računajući kratnosti, svaka kompleksna kubna funkcija ima tri nultočke.
 
S obzirom na kritične vrijednosti ove se funkcije dijele na dvije skupine,već prema tome koliko njihova derivacija (koja je [[kvadratna funkcija]]) ima nultočaka. U prvoj su, općoj, one koje imaju dvije kritične točke, a to su upravo one za koje ''f' '' ima dvije različite nultočke. One imaju dvije kritične vrijednosti (jer su vrijednosti kubne funkcije u različitim kritičnim točkama nužno različite). U drugoj su, posebnoj skupini, one koje imaju jednu kritičnu točku, a to su one ''f'' kojima derivacija ''f' '' ima dvostruku nultočku. One imaju jednu kritičnu vrijednost (vrijednost funkcije u kritičnoj točki). Svaka takva funkcija oblika je <math> f(z)=a(z-z_0)^3+f(z_0)\ ,z_0</math> joj je kritična točka, a <math> f(z_0) </math> kritična vrijednost. Ona se linearnim transformacijama može svesti na čistu treću potenciju <math>f(z):=z^3</math>. Opće kubne funkcije, one iz prve skupine, linearnim transformacijama mogu se svesti na jednu izabranu, primjerice na <math>f(z):=4z^3-3z</math> ([[Čebiševljev polinom]] prve vrste, trećeg stupnja).
 
Kritične vrijednosti u ovakvim okolnostima imaju posebno značenje i posebno ime: [[razgranište|razgraništa]] ili [[točka grananja|točke grananja]] preslikavanja ''f'' (odnosno inverzne funkcije od ''f'' kao [[višeznačna funkcija|višeznačne funkcije]]). Ako se kompleksna varijabla slike označi kao ''w'', onda se ovo preslikavanje može zapisati i kao jednadžba ''f''(''z'')=''w''. Ta jednadžba za svaki ''w'' koji nije točka grananja ima tri različita rješenja kao jednadžba s nepoznanicom ''z''. Tako je preslikavanje ''f'' [[razgranato natkrivanje]] kompleksne ravnine stupnja 3. S obzirom na točke grananja, kompleksne kubne funkcije dijele se u dvije skupine, one koje imaju dvije i one koje imaju jednu točku grananja.
 
=== Kubna funkcija kao preslikavnje proširene kompleksne ravnine ===
 
Kubna je funkcija [[meromorfna funkcija]] na [[Proširena kompleksna ravnina|proširenoj kompleksnoj ravnini]] <ref name="Hrk"/> <math> \mathbb{C}\cup\{\infty\}</math> ([[Riemannova sfera|Riemannovoj sferi]]) - ima [[pol]] trećeg reda u [[beskonačnost]]i. Razmatrana kao funkcije s Riemannove sfere na Riemannovu sferu, tako de se definira da je <math>f(\infty)=\infty</math>, ona je holomorfna (analitička je i oko beskonačnosti). Drugim riječima, kompleksna kubna funkcija definira razgranato natkrivanje trećeg stupnja s Riemannove sfere na Riemannovu sferu. Beskonačnost (<math>\infty</math>) je točka grananja tog natkrivanja koje općenito ima tri, iznimno dvije točke grananja (uključujući rečenu točku grananja u beskonačnosti). Općenito, [[grupa monodromije]] izomorfna je [[simetrična grupa|simetričnoj grupi]] <math>\mathbb{S}_3</math>, a iznimno, [[ciklička grupa|cikličkoj grupi]] trećeg reda .<ref>Rick Miranda, Algebraic Curves and Riemann Surfaces, Graduate Studies in Mathematics, Vol 5, ({{ISBN|0-8218-0268-2}})</ref>.
 
==Izvori==
131.409

uređivanja