Fraktalna dimenzija: razlika između inačica

Kako mjeriti [[fraktal]]e? Uzmimo za primjer [[Kochova krivulja|Kochovu krivulju]]. To je [[krivulja]], pa bi bilo logično mjeriti njezinu [[duljinu]], u [[metar|metrima]]. Mjerit ćemo ju na način na koji mjerimo ostale nepravilne krivulje – [[aproksimacija|aproksimacijom]]. Uzimamo sve manje i manje dužine i stavljamo ih uz krivulju te nam zbroj njihovih duljina daje aproksimaciju duljine krivulje. Pokušajmo istom metodom izmjeriti duljinu Kochove krivulje. Recimo da je prvi segment duljine 1m. To nam ne daje dovoljnu preciznost, pa uzimamo manje segmente. Nakon prve iteracije imamo četiri segmenta duljine 1/3 m. Zbroj tih segmenata daje nam duljinu od 4/3 m. Ako nastavimo dalje, krivulja će nakon treće iteracije imati duljinu 16/9 m. [[matematička indukcija|Matematičkom indukcijom]] dolazimo do opće formule <math> \mathit{L} = \left ( \frac{4}{3} \right)^n </math> , ako je n broj iteracija. Kod krivulje iz našeg primjera (s prvim segmentom duljine 1m) duljina krivulje nakon 128 iteracija bila bi približno jednaka jednoj [[svjetlosna godina|svjetlosnoj godini]] (9.46∙10¹⁵m). Pošto "prava" Kochova krivulja ima beskonačno mnogo iteracija, dolazimo do zaključka da je njezina duljina beskonačna, kao i duljina svakog njenog segmenta.

Očito smo se prevarili u pokušaju mjerenja duljine Kochove krivulje, ali bismo joj možda mogli izmjeriti [[površina|površinu]], u kvadratnim metrima. Opet ćemo se poslužiti metodom aproksimacije. Nakon prve iteracije, aproksimacija površine je trokut površine <math>\frac{\sqrt{3}}{12}</math>. Sljedeće iteracije daju po četiri puta više sličnih trokuta devet puta manje površine. Opća formula površine glasi <math>\frac{\sqrt{3}}{12} \cdot \left ( \frac{4}{9} \right)^n </math> . Kada ''n'' teži u beskonačno, drugi faktor (a time i cijela površina) teži nuli. Vidimo da površina Kochove krivulje ne postoji. Pa, ako ne možemo mjeriti ni duljinu ni površinu, kako možemo mjeriti fraktale?