Fraktalna dimenzija: razlika između inačica

Dimenzija samosličnosti koristi promjenu mjere ([[duljina|duljine]], [[površina|površine]], [[volumen]]a...) u odnosu na mijenjanje broja iteracija kod potpuno samosličnih [[fraktal]]a. Kod [[Kochove krivulje]] svaka sljedeća iteracija daje četiri puta više segmenata tri puta manje duljine. Ako broj segmenata označimo s ''N'', a duljinu segmenta s ''L'', ukupna će duljina krivulje biti ''NL''. Za Kochovu krivulju stoga vrijedi <math>4 \mathit{N} \left( \frac{\mathit{L}}{3} \right) = \mathit{N} \mathit{L}^{\mathit{d}} </math>, ako za mjeru duljine uvrstimo spomenuti "''d''-dimenzionalni metar", md. Preuređivanjem jednadžbe dobivamo <math>\mathit{d} = \log_3 4</math>, ili češće <math>\mathit{d}=\frac{\log4}{\log3}</math>. Prema tome, mjerna jedinica za Kochovu krivulju bi bila otprilike m^1.2619. Općenito, fraktalna dimenzija potpuno samosličnog fraktala računa se po formuli <math>\mathit{d}=\frac{\log \mathit{N}}{\log \mathit{L}}</math>.

Uzmimo fraktal koji leži u ravnini i prekrijmo ga proizvoljnim brojem ''M'' sukladnih kvadrata duljine stranice ''A''. Smanjivanjem duljine kvadratâ (a time i povećavanjem njihova broja) mijenja se i broj kvadrata koji sadrže fraktal. Ova metoda koristi odnos broja tih kvadrata i duljine stranica. Pokušajmo tako odrediti dimenziju jednostavnih objekata, čija nam je dimenzija već poznata (razne definicije dimenzije ne bi trebale davati različite rezultate kod vrlo jednostavnih objekata), npr. [[kvadrat]]a. Odnos broja kvadrata i duljina stranice možemo vidjeti na slici desno. Dobivamo opću formulu za kvadrat (za koji znamo da je dvodimenzionalan): <math>\mathit{M} = \frac{1}{\mathit{A}^2}</math>. Ako učinimo istu stvar s [[dužina|dužinom]] (jednodimenzionalnom) i [[kocka|kockom]] (trodimenzionalnom), vidimo opće formule <math>\mathit{M} = \frac{1}{\mathit{A}}</math> i <math>\mathit{M} = \frac{1}{\mathit{A}^3}</math>. Iz ova tri primjera vidimo opću formulu za objekte bilo koje dimenzije: <math>\mathit{M} = \frac{1}{\mathit{A}^\mathit{d}}</math>, odnosno <math>\mathit{d} = \frac{\log \mathit{M}}{\log \frac{1}{\mathit{A}}}</math>. Treba napomenuti da ova metoda ne daje potpuno točne rezultate, te da joj se rezultati primiču stvarnima s povećanjem broja dužina, kvadrata, kocaka... Koristi se kod određivanja fraktalne dimenzije nepravilnih objekata, npr. [[bifurkacijski dijagram populacijske jednadžbe|bifurkacijskog dijagrama populacijske jednadžbe]].