Fraktalna dimenzija: razlika između inačica

 

== Uvod ==

Kako mjeriti [[fraktal]]e? Uzmimo za primjer [[Kochova krivulja|Kochovu krivulju]]. To je [[krivulja]], pa bi bilo logično mjeriti njezinu [[duljinu]], u [[metar|metrima]]. Mjerit ćemo ju na način na koji mjerimo ostale nepravilne krivulje – [[aproksimacija|aproksimacijom]]. Uzimamo sve manje i manje dužine i stavljamo ih uz krivulju te nam zbroj njihovih duljina daje aproksimaciju duljine krivulje. Pokušajmo istom metodom izmjeriti duljinu Kochove krivulje. Recimo da je prvi segment duljine 1m. To nam ne daje dovoljnu preciznost, pa uzimamo manje segmente. Nakon prve iteracije imamo četiri segmenta duljine 1/3 m. Zbroj tih segmenata daje nam duljinu od 4/3 m. Ako nastavimo dalje, krivulja će nakon treće iteracije imati duljinu 16/9 m. [[matematička indukcija|Matematičkom indukcijom]] dolazimo do opće formule <math> \mathit{L} = \left ( \frac{4}{3} \right)^n </math> , ako je n broj iteracija. Kod krivulje iz našeg primjera (s prvim segmentom duljine 1m) duljina krivulje nakon 128 iteracija bila bi približno jednaka jednoj [[svjetlosna godina|svjetlosnoj godini]] (9.46∙10¹⁵m). Pošto "prava" Kochova krivulja ima beskonačno mnogo iteracija, dolazimo do zaključka da je njezina duljina beskonačna, kao i duljina svakog njenog segmenta.

 

 

== Minkowski-Bouligandova dimenzija ==

Uzmimo fraktal koji leži u ravnini i prekrijmo ga proizvoljnim brojem ''M'' sukladnih kvadrata duljine stranice ''A''. Smanjivanjem duljine kvadratâ (a time i povećavanjem njihova broja) mijenja se i broj kvadrata koji sadrže fraktal. Ova metoda koristi odnos broja tih kvadrata i duljine stranica. Pokušajmo tako odrediti dimenziju jednostavnih objekata, čija nam je dimenzija već poznata (razne definicije dimenzije ne bi trebale davati različite rezultate kod vrlo jednostavnih objekata), npr. [[kvadrat]]a. Odnos broja kvadrata i duljina stranice možemo vidjeti na slici desno. Dobivamo opću formulu za kvadrat (za koji znamo da je dvodimenzionalan): <math>\mathit{M} = \frac{1}{\mathit{A}^2}</math>. Ako učinimo istu stvar s [[dužina|dužinom]] (jednodimenzionalnom) i [[kocka|kockom]] (trodimenzionalnom), vidimo opće formule <math>\mathit{M} = \frac{1}{\mathit{A}}</math> i <math>\mathit{M} = \frac{1}{\mathit{A}^3}</math>. Iz ova tri primjera vidimo opću formulu za objekte bilo koje dimenzije: <math>\mathit{M} = \frac{1}{\mathit{A}^\mathit{d}}</math>, odnosno <math>\mathit{d} = \frac{\log \mathit{M}}{\log \frac{1}{\mathit{A}}}</math>. Treba napomenuti da ova metoda ne daje potpuno točne rezultate, te da joj se rezultati primiču stvarnima s povećanjem broja dužina, kvadrata, kocaka... Koristi se kod određivanja fraktalne dimenzije nepravilnih objekata, npr. [[bifurkacijski dijagram populacijske jednadžbe|bifurkacijskog dijagrama populacijske jednadžbe]].