Polje (matematika): razlika između inačica

Osnovni primjer polja je <math>\mathbb{Q}</math>, polje [[RacionalanRacionalni broj|racionalnih brojeva]]. Ostali važni primjeri uključuju polje [[Realan broj|realnih brojeva]] <math>\mathbb{R}</math>, polje [[KompleksanKompleksni broj|kompleksnih brojeva]] <math>\mathbb{C}</math> i, za bilo koji [[prost broj]] ''p'', [[konačno polje]] cijelih brojeva modulo ''p'', oznaka <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math>. Za bilo koje polje ''K'', skup ''K''(''X''), tj. skup [[racionalne funkcije|racionalnih funkcija]] s koeficijentima iz ''K'' je također polje.

Matematička disciplina koja se bavi proučavanjem polja se naziva [[teorija polja (matematika)|teorija polja]].

''Polje'' je [[komutativan prsten (matematika)|komutativankomutativni prsten]] (<math>\mathbb{F}</math>, +, *) takav da je 0 različito od 1 i da svi elementi od <math>\mathbb{F}</math> osim nule imaju inverz za množenje. (Važno je primjetiti da 0 i 1 ovdje redom označavaju neutralne elemente za operacije + i *, te se mogu razlikovati od poznatih realnih brojeva [[0 (broj)|0]] i [[1 (broj)|1]]).

Uvjet da je 0 ≠ 1 osigurava da skup koji sadrži samo jedan element nije polje. Izravno iz aksioma se može pokazati da su (<math>\mathbb{F}</math>, +) i<br>(<math>\mathbb{F}\setminus \{0\}</math>, *) komutativne [[grupa (matematika)|grupe]] ([[abelova grupa (matematika)|abelove grupe]]), i tada su aditivni inverz &minus;''a'' i multiplikativni inverz ''a''^&minus;1 jedinstveno određeni s ''a''. Ostala korisna pravila uključuju:

*[[Kompleksan broj|Kompleksni brojevi]] <math>\mathbb{C}</math>, s uobičajenim operacijama zbrajanja i množenja. Polje kompleksnih brojeva sadrži sljedeća ''podpolja'':

*[[Racionalan broj|Racionalni brojevi]] <math>\mathbb{Q} = \{ \frac{a}{b}</math> | <math>a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0 \}</math>, gdje je <math>\mathbb{Z}</math> skup [[Cijeli broj|cijelih brojeva]]. Polje racionalnih brojeva nema pravih podpolja.