Graf (teorija grafova)

Graf je skup bridova i čvorova koji opisuju odnose između objekata. Mogu biti usmjereni i neusmjereni te težinski i bestežinski. Koristi se za opisivanje relacija između dvaju objekata iz određene kolekcije. U ovom kontekstu odnosi se na neprazni skup vrhova i kolekciju bridova koji povezuju par vrhova.

Graf. Čvorovi su imenovani brojevima od 1 do 6.

Definicija

Definiran je dvama odvojenim skupovima i pripadajućim odnosima među njima. Ti skupovi su skup čvorova $N={n_{1},n_{2},n_{3},n_{4},\dots ,n_{N}}$, skup grana, lukova $E={e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},\dots ,e_{N}}$dva su odvojena skupa.

Matematički definirano, graf G predstavlja uređenu trojku G = (V(G), E(G), φ_G. Sastavni su joj dijelovi:

• neprazan skup V = V(G), čiji su elementi vrhovi od G
• skup E(G) disjunktan s V(G), čiji su elementi bridovi od G
• funkcija incidencije φ_G, koja svakom bridu od G pridružuje neuređen par (ne nužno različitih) vrhova od G.

Kraći zapis koji se katkad primjenjuje za G = (V(G), E(G), φ_G jest $G=(V(G),E(G))iliG=(V,G).$

U usmjerenom grafu neki su bridovi jednosmjerni. Ako u usmjerenom grafu možemo iz čvora A doći u čvor B ne znači da možemo iz čvora B doći u čvor A. Jednosmjernih bridova nema u neusmjerenim grafovima.

U težinskim grafovima svaki brid ima svoju vrijednost. U bestežinskim grafovima vrijednost svakog brida prema dogovoru iznosi 1.

Usmjereni težinski graf. Iz čvora C se ne može u nijedan drugi čvor. Iz nijednog čvora ne možemo u čvor A, pa čak ni iz njega samog.

Brid koji počinje i završava u istom vrhu zove se petlja. Ciklus je zatvorena staza u kojoj su svi unutarnji vrhovi međusobno različiti. Drugim riječima, ciklus je staza koja počinje i završava u istome čvoru.

Povezan graf s n čvorova i n-1 bridova zove se stablo. U stablu nema ciklusa ni petlji.

Komponenta grafa je povezani dio grafa. U neusmjerenom grafu iz svakog čvora neke komponente možemo u svaki čvor te iste komponente. U nijednom grafu ne možemo preko bilo kojeg brida prijeći iz jedne komponente u drugu. Jedna komponenta može obuhvaćati i cijeli graf.

Čvor

Podrobniji članak o temi: Čvor (teorija grafova)

Čvor je osnovna gradivna jedinica grafa.

Za svaki čvor je poznat ulazni te izlazni stupanj. Ulazni stupanj označava broj bridova koji ulaze u taj čvor, a izlazni stupanj iznosi broj bridova koji izlaze iz čvora. U neusmjerenim grafovima, zbroj ulaznih stupnjeva svih čvorova jednak je zbroju izlaznih stupnjeva svih čvorova, a iznosi dvostruki broj bridova.

Stablo

Podrobniji članak o temi: Stablo (teorija grafova)

Stablo je povezan graf s n čvorova i n-1 bridova. U stablu postoji poseban čvor koji nazivamo korijen stabla. U stablu nema ciklusa ni petlji.

Binarno stablo.

Potpuno binarno stablo.

Binarno stablo

Podrobniji članak o temi: Binarno stablo

Binarno stablo ili binarno drvo usmjereno stablo u kojemu za svaki vrh postoje najviše dva brida kojima je taj vrh početna točka. Katkad se podrazumijeva da je binarno stablo ravninsko. Poseban je slučaj stabla u kojem svaki čvor ima najviše dvoje djece, koja se zovu lijevo dijete i desno dijete. Svaki čvor osim korijena ima točno jednog roditelja, a korijen nema nijednog roditelja. Listovi su čvorovi koji nemaju nijedno dijete.

Potpuno binarno stablo je binarno stablo u kojem su svi listovi jednake dubine, a svi ostali čvorovi imaju točno dvoje djece.

Vidi još

• Graf (struktura podataka)
• Nul-graf

Literatura

• Teorija grafova, Hrvatski matematički elektronički časopis