Jednadžba difuzije

Jednadžba difuzije ili difuzijska jednadžba je parabolična parcijalna diferencijalna jednadžba drugoga reda. U matematici se koristi u područjima vezanim za Markovljev lanac, dok je iznimnu važnost ima u statističkoj fizici prilikom svakoga procesa koji je rezultat nasumičnog kretanja čestica. Zbog svoje općenitosti, koristi se i u raznim drugim područjima, kao informatici, biološkim znanostima, društvenim znanostima, ekonomiji, itd.

Jednadžba

Difuzijska jednadžba je definirana kao

${\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot {\big [}D(\phi ,\mathbf {r} )\ \nabla \phi (\mathbf {r} ,t){\big ]},$

gdje je ϕ(r, t) koncentracija ili gustoća promatranoga sustava u točki r i u vremenu t, a D(ϕ, r) je difuzijski koeficijent za koncentraciju ϕ i točku r. Operator ∇ vektorski diferencijalni operator nablu.

Ako koeficijent difuzije ovisi o koncentraciji (ili gustoći), tada je jednadžba nelinearna. U suprotnom je linearna.

Ako je koeficijent difuzije simetrična, pozitivno definirana, matrica, tada jednadžba predstavlja anizotropnu difuziju, i ima oblik:

${\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[D_{ij}(\phi ,\mathbf {r} ){\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial x_{j}}}\right]$

Ako je D konstanta, tada se jednadžba reducira na linearni diferencijalnu jednadžbu:

${\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=D\nabla ^{2}\phi (\mathbf {r} ,t).$

Rješenje za takav slučaj za jednu dimenziju se nalazi u obliku Gaussijana:

$\phi (\mathbf {r} ,t|x_{0},r_{0})={\frac {1}{\sqrt {4\pi D(t-t_{0})}}}e^{-{\frac {(x-x_{0})^{2}}{4D(t-t_{0})^{2}}}}$

Gdje su $x_{0}$ i $t_{0}$ početne vrijednosti pozicije i vremena.

Izvod

Difuzijska jednadžba se trivijalno može izvesti kombinacijom jednadžbe kontinuiteta

${\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,$

S Fickovim prvim zakonom

$\mathbf {j} =-D(\phi ,\mathbf {r} )\,\nabla \phi (\mathbf {r} ,t).$

koji kaže da je tok materijala koji vrši difuziju proporcionalan lokalnom gradijentu koncentracije.

Vidi još

• Difuzija
• Statistička mehanika
• Markovljev lanac