Kinetička teorija plinova

Kinetička teorija plinova je tumačenje makroskopskih svojstava plinova na temelju gibanja njihovih molekula. Osnovne su postavke teorije:

• molekule su najmanji djelići kemijskih tvari koji sadrže kemijska svojstva makroskopske tvari;
• molekule su u stalnom, kaotičnom gibanju (kinetička energija molekularnoga sustava predstavlja toplinu);
• međusobno djelovanje molekula i njihovo djelovanje na stijenke posude u kojoj se plin nalazi može se tretirati, na bazi klasične mehanike, kao sudari ili srazovi;
• zbog velikoga broja molekula primjenljive su metode statističke fizike.

Temperatura idealnog plina je mjera prosječne kinetičke energije molekula.

Difuzija nastaje zbog razlike u koncentracijama koje se spontanim toplinskim gibanjem čestica izjednačuju.

Ovo je oponašanje ili simuliranje Brownovog gibanja za veliku česticu (česticu prašine) kola se sudara s velikim brojem malih čestica (molekule plina) koje se kreću s različitim brzinama i u slučajnim smjerovima.

Ovo je oponašanje ili simuliranje Brownovog gibanja za 5 čestica (žuto) koje se sudaraju s 800 čestica. Žute čestice ostavljaju 5 plavih tragova slučajnog kretanja i jedna od njih ima crveni vektor brzine.

Viskoznost je trenje nastalo pri strujanju fluida zbog različite brzine gibanja njegovih slojeva.

Ako se zanemari međusobno djelovanje molekula, govori se o idealnom plinu, za koji se jednostavno izračunavaju temeljne termodinamičke veličine: tlak, temperatura i specifični toplinski kapacitet.

Plin, koji u jedinici volumena sadrži n molekula mase m koje se gibaju prosječnom brzinom v, vrši na stijenke posude tlak p:

$p={\frac {n\cdot m\cdot v^{2}}{3}}$

U klasičnoj statističkoj fizici pretpostavlja se jednaka raspodjela energije sustava po raspoloživim stupnjevima slobode (kod čistoga translatornoga gibanja 3 prostorne komponente), pri čemu na svaki otpada srednja energija E_sr:

$E_{sr}={\frac {k_{B}\cdot T}{2}}$

gdje je: k_B - Boltzmannova konstanta, a T - termodinamička temperatura.

Ukupna energija jednoga mola plina (kinetička energija N molekula) dana je s:

$E={\frac {3\cdot N\cdot k_{B}\cdot T}{2}}$

gdje se faktor 3N k_B/2 naziva specifičnim toplinskim kapacitetom jednoatomnih plinova.

Kinetičkom teorijom plinova objašnjavaju se i druge pojave, primjerice difuzija, Brownovo gibanje, viskoznost i toplinska provodnost. Za realne plinove teorija daje ili približne rezultate, primjenljive u određenom rasponu temperatura i tlakova, ili se u razmatranje moraju uključiti potencijalna energija te svojstva molekula koja utječu na njihovo međudjelovanje i koja, općenito uzevši, ovise o temperaturi.

Dokaz za kinetičku teoriju plinova je Brownovo gibanje, koji je primijetio kretanje peluda ispod mikroskopa, a koje nastaje zbog kretanja i sudaranja nevidljivih čestica. Kao što je naglasio Albert Einstein 1905., eksperimentalni dokazi kinetičke teorije plinova su ujedno i dokazi postojanja atoma i molekula.

Pretpostavke

Kinetička teorija plinova se zasniva na sljedećim pretpostavkama:

• plin se sastoji od vrlo malih čestica, koji imaju neku masu;
• broj čestica u plinu je toliko velik, da se mogu primijeniti statistički zakoni;
• ti atomi i molekule su u stalnom i slučajnom kretanju. Brze pokretne čestice se stalno sudaraju sa stijenkama spremnika u kojem se nalaze;
• srazovi ili sudari čestica i stijenki spremnika su savršeno elastični;
• osim za vrijeme sraza ili sudara, međudjelovanje između molekula je zanemarivo (nema međumolekularnih sila);
• ukupni obujam čestica plina je zanemariv u usporedbi s obujmom spremnika u kojem se nalaze. Drugim riječima, veličina molekula je zanemariva u odnosu na razmak između njih;
• molekule imaju oblik savršene kugle i elastične su;
• prosječna kinetička energija čestica plina ovisi samo o temperaturi sustava;
• utjecaj posebne teorije relativnosti je zanemariv;
• utjecaj kvantne mehanike je zanemariv. To znači da je udaljenost između čestica puno veća od toplinske de Broglieve valne duljine i molekule se promatraju kao objekti klasične mehanike;
• vrijeme sudara čestica sa stijenkom spremnika je zanemarivo u usporedbi s vremenom između sudara.

Svojstva

Tlak

Tlak prema kinetičkoj teoriji plinova nastaje udaranjem čestica plina na stijenke spremnika u kojem se nalaze. U spremniku ima N molekula, svaka molekula ima masu m, a spremnik ima obujam V=L³. Kada molekula plina udari okomito u stijenku spremnika, onda količina gibanja koju izgubi molekula, a dobije stijenka spremnika iznosi:

$\Delta p=p_{i,x}-p_{f,x}=2\cdot m\cdot v_{x}\,$

gdje je v_x početna brzina čestice x. Čestica udari u stijenku spremnika svakih:

$\Delta t={\frac {2\cdot L}{v_{x}}}$

gdje je L udaljenost između stijenki spremnika. Sila kojom čestica djeluje na stijenku spremnika je:

$F={\frac {\Delta p}{\Delta t}}={\frac {m\cdot v_{x}^{2}}{L}}.$

Ukupna sila na zid stijenke iznosi:

$F={\frac {N\cdot m\cdot {\overline {v_{x}^{2}}}}{L}}$

gdje se gornja formula odnosi na prosječan broj N čestica koje udaraju u zid, a pretpostavka prema molekularnom neredu iznosi ${\overline {v_{x}^{2}}}={\overline {v^{2}}}/3$, pa se sila može izraziti:

$F={\frac {N\cdot m\cdot {\overline {v^{2}}}}{3\cdot L}}.$

ta sila pritišće površinu L², pa tlak iznosi:

$p={\frac {F}{L^{2}}}={\frac {N\cdot m\cdot {\overline {v^{2}}}}{3\cdot V}}$

gdje je V = L³ obujam spremnika. Razlomak n=N/V je gustoća čestica plina (gustoća mase iznosi ρ=n m). Koristeći n, možemo tlak izraziti kao:

$p={\frac {n\cdot m\cdot {\overline {v^{2}}}}{3}}$

To je prvi značajan rezultat kinetičke teorije plinova, gdje se tlak kao makroskopska pojava objašnjava s mikroskopskom kinetičkom energijom molekula ${1 \over 2}m{\overline {v^{2}}}$.

Temperatura i kinetička energija

Iz jednadžbe stanja idealnog plina:

$\displaystyle p\cdot V=N\cdot k_{B}\cdot T$

(1)

gdje je k_B – Boltzmannova konstanta i T – apsolutna temperatura i iz gornje jednažbe kinetičke teorije plinova za tlak:

$p={N\cdot m\cdot v^{2} \over 3\cdot V}$ dobivamo $p\cdot V={N\cdot m\cdot v_{rms}^{2} \over 3}$

dobivamo $\displaystyle N\cdot k_{B}\cdot T={\frac {N\cdot m\cdot v_{rms}^{2}}{3}}$

onda temperatura T dolazi:

$\displaystyle T={\frac {m\cdot v_{rms}^{2}}{3k_{B}}}$

(2)

i vodi prema izrazu kinetičke energije molekula:

$\displaystyle {\frac {1}{2}}mv_{rms}^{2}={\frac {3}{2}}k_{B}\cdot T$

Kinetička energija cijelog sustava je N puta veća:

$K={\frac {1}{2}}N\cdot m\cdot v_{rms}^{2}$

Pa temperatura postaje:

$\displaystyle T={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {K}{N\cdot k_{B}}}.$

(3)

To je vrlo važan rezultat kinetičke teorije plinova: prosječna molekularna kinetička energija je proporcionalna apsolutnoj temperaturi. Kombiniranjem možemo dobiti:

$\displaystyle p\cdot V={\frac {2}{3}}K.$

(4)

To znači da je umnožak tlaka i obujma, po molu plina, proporcionalan s prosječnom molekularnom kinetičkom energijom.

Sudari sa spremnikom

Za idealni plin, prema kinetičkoj teoriji plinova, može se izračunati broj sudara molekula sa spremnikom, po jedinici vremena i po jedinici površine:

$A={\frac {1}{4}}\cdot {\frac {N}{V}}\cdot v_{avg}={\frac {\rho }{4}}{\sqrt {\frac {8\cdot k_{B}\cdot T}{\pi \cdot m}}}.\,$

Brzina molekula

Iz kinetičke teorije plinova može se izračunati prosječna brzina molekula:

$v_{rms}^{2}={\frac {3\cdot R\cdot T}{\mbox{molarna masa}}}$

gdje je: v_rms - prosječna brzina molekula (m/s), T – apsolutna temperatura (K), R – univerzalna plinska konstanta, molarna masa (kg/mol).

Povijest

Začetnik kinetičke teorije plinova je Daniel Bernoulli, koji je 1738. izdao knjigu Hydrodynamica. On je tvrdio da se plinovi sastoje od velikog broja molekula, koje se stalno kreću u svim smjerovima, i da njihovi udarci na stijenke spremnika stvaraju tlak, a da je toplina koju osjećamo ustvari kinetička energija kretanja molekula. Ta teorija u početku nije imala uspjeha, tek nakon zakona o očuvanju energije, postaje opće prihvaćena.

Ostali značajni prestavnici kinetičke teorije plinova su Mihail Lomonosov, Rudolf Clausius, James Maxwell, Ludwig Boltzmann i na kraju Albert Einstein, koji je pokazao da atomi i molekule nisu samo teoretske čestice, nego i da postoje u stvarnosti.

Izvori

• Clausius, R.: "Ueber die Art der Bewegung, welche wir Wärme nennen", journal =Annalen der Physik, 1857., [2]
• Einstein, A.: "Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen", journal =Annalen der Physik, 1905. [3]  Arhivirana inačica izvorne stranice od 10. travnja 2005. (Wayback Machine)
• Herapath, J.: "On the physical properties of gases", journal =Annals of Philosophy, 1816., [4], publisher= Robert Baldwin
• Herapath, J.: "On the Causes, Laws and Phenomena of Heat, Gases, Gravitation", 1821., journal= Annals of Philosophy, [5], publisher=Baldwin, Cradock, and Joy
• Krönig, A.: "Grundzüge einer Theorie der Gase", journal =Annalen der Physik, 1856., [6]
• Le Sage G.-L.: "Physique Mécanique des Georges-Louis Le Sage", 1818., publisher=J.J. Paschoud, [7]
• Lomonosow, M.: "On the Relation of the Amount of Material and Weight", 1758./1970.journal= Mikhail Vasil'evich Lomonosov on the Corpuscular Theory, publisher=Harvard University Press, [8]
• Mahon Basil: "The Man Who Changed Everything – the Life of James Clerk Maxwell", publisher=Wiley, 2003.
• Maxwell James Clerk: "Molecules", journal =Nature, 1873., [9]  Arhivirana inačica izvorne stranice od 22. srpnja 2007. (Wayback Machine), Scholar search
• Smoluchowski M.: "Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen", journal =Annalen der Physik, 1906., [10]
• Waterston John James: "Thoughts on the Mental Functions", 1843.
• Williams M. M. R.: "Mathematical Methods in Particle Transport Theory", Butterworths, London, 1971.
• de Groot S. R., W. A. van Leeuwen and Ch. G. van Weert: "Relativistic Kinetic Theory", North-Holland, Amsterdam, 1980.
• Liboff R. L.: "Kinetic Theory", Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1990.
• Ivo Batistić, Fizički odsjek, PMF, Sveučilište u Zagrebu: "Kinetička teorija plinova" [11]  Arhivirana inačica izvorne stranice od 4. ožujka 2016. (Wayback Machine)