Koordinatni sustav

Koordinatni sustav je sustav koji omogućuje da se točke na krivulji, pravcu, plohi, u ravnini ili prostoru opišu s pomoću brojeva, takozvanim koordinatama. U matematici i drugim područjima postoji više različitih koordinatnih sustava:

• brojevni pravac,
• Kartezijev ili pravokutni koordinatni sustav,
• polarni koordinatni sustav,
• cilindrični koordinatni sustav,
• sferni koordinatni sustav,
• zemljopisne koordinate,
• nebeski koordinatni sustavi.

Brojevni pravac.

Kartezijev koordinatni sustav.

Pravokutni Kartezijev koordinatni sustav.

Primjer kosokutnog koordinatnog sustava.

Polarni koordinatni sustav.

Cilindrični koordinatni sustav.

Sferni koordinatni sustav.

Zemljopisne koordinate na sferi.

Nebeski ekvatorski koordinatni sustav (plavo), ekliptički koordinatni sustav (crveno) i galaktički koordinatni sustav (žuto). Ekvatorski i ekliptički koordinatni sustav dijele proljetnu točku (magenta) kao polaznu točku. Galaktičke koordinate su na odnosu Galaktičkog centra (žuta točka).

Povijest

Određivanje položaja s pomoću koordinata bilo je poznato već staroegipatskim graditeljima i babilonskim astronomima. Kartezijev koordinatni sustav uveo je René Descartes (latinizirano Renatus Cartesius). Descartesovo otkriće omogućilo je da se mnoga geometrijska tijela sustavno proučavaju znatno jačim metodama analitičke geometrije, algebre i analize; tako se na primjer krivulje proučavaju s pomoću jednadžbi koje zadovoljavaju koordinate njihovih točaka. Još je značajnije to što je u novije doba veza geometrije, algebre i analize omogućila da geometrijski zor, a time i mnogo plodnija intuicija, budu iskorišteni u rješavanju problema algebre i analize. Zato je Kartezijev koordinatni sustav temelj razvoja i uspjeha moderne linearne algebre (vektorski prostor), a zatim i mnogih njezinih nadgradnja (funkcionalne analize, diferencijalne geometrije, algebarske geometrije).

Podjela

Brojevni pravac

Podrobniji članak o temi: Brojevni pravac

Brojevni pravac je pravac na kojem je svakomu realnom broju (realni brojevi obuhvaćaju i racionalne i iracionalne broje) pridružena jedna jedina točka. Brojevni pravac služi za predočivanje brojeva i grafičko računanje njima. Na pravcu se najprije odabere točka O (lat. origo: ishodište), koja predočuje nulu, a zatim jedinična točka 1. Dužina od O do 1 predočuje jediničnu duljinu. Točkama na desnoj strani od O odgovaraju pozitivni realni brojevi, a na lijevoj strani negativni. Bilo kojemu realnom broju x odgovara točka x, tako da je dužina Ox (mjerena jediničnom duljinom) jednaka x jediničnih duljina. Između bilo koja dva realna broja postoji beskonačno mnogo racionalnih brojeva i iracionalnih brojeva.

Kartezijev koordinatni sustav

Podrobniji članak o temi: Kartezijev koordinatni sustav

U ravnini je pravokutni Kartezijev koordinatni sustav određen s dva međusobno okomita pravca x i y na kojima su zadani Kartezijevi koordinatni sustavi, ishodišta kojih su u točki presjecišta pravaca x i y. Točki T ravnine pridružuju se dvije koordinate, apscisa i ordinata. Apscisa točke T koordinata je okomite projekcije te točke na pravac x, a ordinata je koordinata okomite projekcije te točke na pravac y. Na taj način svakoj je točki pridružen uređen par realnih brojeva (x, y). Pravci x i y nazivaju se koordinatne osi, a pravci njima paralelni koordinatne linije.

Pravokutni koordinatni sustav

Pravokutni koordinatni sustav ili pravokutni Kartezijev koordinatni sustav u prostoru određen je trima međusobno okomitim pravcima x, y, z, koji se sijeku u ishodištu O, i s Kartezijevim koordinatnim sustavima na njima. Koordinate se tada zovu apscisa (na osi x), ordinata (na osi y) i aplikata (na osi z). Na taj način svakoj su točki u prostoru pridružena 3 realna broja (x, y, z).

Kosokutni koordinatni sustav

Kosokutni koordinatni sustav ili kosokutni Kartezijev koordinatni sustav određen je pravcima koji nisu međusobno okomiti, kojemu koordinatne osi nisu međusobno okomite, a umjesto okomitih projekcija pojavljuju se kose projekcije. Katkad ga je prikladno koristiti umjesto pravokutnoga, na primjer u teoriji kristala.

Polarni koordinatni sustav

Polarni koordinatni sustav je koordinatni sustav u ravnini i određen je ishodištem O i zrakom p s početkom u ishodištu (polarna os) i jediničnom točkom E. Točki T ravnine pripadaju tada njezine polarne koordinate: jedna je radijalna koordinata r = OT, a druga je amplituda φ, koja je mjerni broj kuta što ga zatvara zraka p sa zrakom kojoj je početak u ishodištu i koja prolazi kroz T.

Prijelaz iz Kartezijevih koordinata u ravnini u polarne koordinate u ravnini računa se prema jednadžbama:

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\quad$

$\varphi =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)$

a prijelaz iz polarnih u Kartezijeve koordinate prema jednadžbama:

$x=r\cdot \cos \varphi$

$y=r\cdot \sin \varphi$

Bipolarni koordinatni sustav u ravnini sadrži dva pola.

Cilindrični koordinatni sustav

Cilindrični koordinatni sustav je koordinatni sustav u prostoru i određen je ishodištem O, zrakom p s početkom u ishodištu i pravcem z koji je okomit na zraku p i prolazi kroz ishodište. Nekoj točki P pridružuju se koordinate (ρ, φ, z) gdje je ρ udaljenost okomita na pravac z od točke P do ishodišta, φ je kut koji projekcija vektora OP zatvara na ravninu u kojoj se nalazi zraka p sa zrakom p, a z udaljenost paralelna na os z od točke P do ishodišta.

Prijelaz iz Kartezijevih u cilindrične koordinate u prostoru računa se prema jednadžbama:

$\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\quad$

$\varphi =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)$

$z=z$

a prijelaz iz cilindričnih u Kartezijeve koordinate prema jednadžbama:

$x=\rho \cdot \cos \varphi$

$y=\rho \cdot \sin \varphi$

$z=z$

Sferni koordinatni sustav

Sferni koordinatni sustav određen je ishodištem O i međusobno okomitim polupravcima p i z. Nekoj točki P pridružuju se koordinate (r, φ, θ) gdje je r koordinata jednaka udaljenosti od ishodišta do točke P, koordinata φ kut je od projekcije vektora OP na ravninu okomitu na poluos z i koordinatu θ, θ je kut koji vektor OP zatvara s poluosi z. Sve su točke prostora jednoznačno određene kad su vrijednosti sfernih koordinata ograničene: 0 < ρ < ∞, –π < φ < π, 0 < θ < π.

Prijelaz iz Kartezijevih u sferne koordinate u prostoru računa se prema jednadžbama:

${\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arccos {\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}=\arccos {\frac {z}{r}}\\\varphi &=\arctan {\frac {y}{x}}\end{aligned}}$

a prijelaz iz sfernih u Kartezijeve koordinate prema jednadžbama:

${\begin{aligned}x&=r\cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi \\y&=r\cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi \\z&=r\cdot \cos \theta \end{aligned}}$

Zemljopisne koordinate

Podrobniji članak o temi: Zemljopisne koordinate

U geodeziji i kartografiji položaj točke na Zemljinoj plohi često se određuje zemljopisnim koordinatama. Za istu se namjenu katkad koristi i pravokutni koordinatni sustav na sferi, u kojem se za apscisu, umjesto pravca, najčešće uzima meridijan promatranoga područja. Za ishodište koordinatnoga sustava odabire se točka na meridijanu, obično u središtu promatranoga područja. Apscisa neke točke udaljenost je mjerena uzduž meridijana, od ishodišta do presjeka s velikom kružnicom (presjecište kugline plohe s ravninom koja prolazi njezinim središtem) koja prolazi danom točkom i okomita je na meridijan. Duljina luka te okomice ujedno je i ordinata točke.

Nebeski koordinatni sustavi

Podrobniji članak o temi: Nebeski koordinatni sustavi

Nebeski koordinatni sustavi su sferni koordinatni sustavi u kojem je položaj nebeskog tijela određen dvjema koordinatama definiranog sfernog koordinatnog sustava. U astronomiji razlikujemo 5 nebeskih koordinatnih sustava:

• horizontski (azimutski) koordinatni sustav
• mjesni ekvatorski koordinatni sustav
• nebeski ekvatorski koordinatni sustav
• ekliptički koordinatni sustav
• galaktički koordinatni sustav