Kvadratni korijen

Kvadratni korijen matematička je operacija inverzna kvadriranju. Oznaka ove operacije nad nekim brojem x je:

Kvadratni korijen od i
, i čita se kao „korijen iz x“.

Potpuno ispravno bilo bi pisati i te izgovarati „kvadratni korijen od x“, međutim to se rjeđe radi iz razloga, što se najveći broj slučajeva odnosi na kvadratni korijen, pa se ustalio kraći izgovor i jednostavniji zapis.

Definicija uredi

Ova operacija definira se sljedećom relacijom:

Kvadratni korijen broja x je ne-negativan broj, koji pomnožen sam sa sobom daje x.[1]

Na primjer,   pošto je  .

Primjer pokazuje kako se kvadratni korijen pojavljuje prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe  .

Općenito kvadratna jednadžba ima oblik   i za njeno rješavanje neophodna je primjena kvadratnoga korijena.

Osobine uredi

  • Glavna vrijednost kvadratnoga korijena je funkcija   koja preslikava skup ne-negativnih realnih brojeva   na samu sebe.

Opširnije uredi

Kvadratni korijen prirodnog broja često je iracionalan broj tj. broj koga nije moguće zapisati u obliku razlomka. Na primjer   ne se može zapisati kao m/n, gdje su n i m prirodni brojevi. Međutim, toliko točno iznosi dužina dijagonale kvadrata čija je dužina stranice jednaka 1.

Otkriće činjenice da je   iracionalan pripisuje se Hipasu, Pitagorinom učeniku.

Oznaka, simbol, za kvadratni korijen ( ) prvi put je upotrijebljena u 16. stoljeću. Skoro je sigurno, da je proizašlo iz prilagođenoga ispisa malog latiničnog slova r, što je skraćenica od (lat. radix) što znači „korijen”.

Argument i vrijednost uredi

Da bi rezultat korijenovanja bio realan broj, argument operacije x mora biti ne-negativan broj. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja, npr. rješenja jednadžbe   su   i  , jer je   i  , što se kraće može zapisati kao  .

Za negativne brojeve nije moguće naći realan kvadratni korijen. Zato je uveden pojam imaginarnoga i kompleksnoga broja, pa je matematički moguće izračunati odnosno predstaviti i takve brojeve.

 
 

Heronov algoritam uredi

Jedan od najstarijih metoda, odnosno algoritama za računanje kvadratnog korijena pripisuje se starogrčkom matematičaru Heronu iz Aleksandrije.[2] Ponegdje se naziva i babilonskom metodom.

Kako bi odredili r, kvadratni korijen realnog broja x:

  1. Počnemo sa proizvoljnom pozitivnom početnom vrijednosti r (što je bliža kvadratnom korijenu od x, to je bolje).
  2. Zamijenimo r sa srednjom vrijednosti između r i x/r, to jest:   (Dovoljno je uzeti aproksimativnu vrijednost srednje vrijednosti kako bi se osigurala konvergencija).
  3. Ponavljamo korak 2 sve dok r i x/r nisu blizu po našoj želji ili potrebi.

Izvori uredi

  1. https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/ Preuzeto 9. kolovoza 2021.
  2. Heath Thomas: "A History of Greek Mathematics, Vol. 2", publisher = Clarendon Press, 1921. [1]
 
Logotip Zajedničkog poslužitelja
Zajednički poslužitelj ima još gradiva o temi Kvadratni korijen