Matematička formulacija kvantne mehanike

Matematička formulacija kvantne mehanike bavi se matematičkim formalizmom koji omogućava rigorozni opis kvantne mehanike. Matematička arena na kojoj operiramo je separabilni Hilbertov prostor zajedno s $L^{2}$ normom, gdje je $L^{2}$ prostor kvadratno integrabilnih funkcija.

Kvantna fizika

Uvod u kvantnu mehaniku Matematička formulacija kvantne mehanike Fundamentalni koncepti Komplementarnost · Dekoherencija · Sprezanje · Interferencija · Energetska razina · Nelokalnost · Kvantni broj · Stanje · Superpozicija · Simetrija · Tuneliranje · Neodređenost · Isključenje · Teorija transformacije · Valna funkcija (kolaps) · Ehrenfestov teorem · Mjerenje Eksperimenti Afsharov · Bellova nejednakost · Davisson–Germer · Dvostruka pukotina · Elitzur–Vaidman · EPR paradoks · Franck–Hertz · Mach–Zehnder · Popperov · Kvantni brisač (odgođeni izbor) · Schrödingerova mačka · Stern–Gerlach eksperiment · Wheelerov odgođeni izbor Jednadžbe Schrödingerova jednadžba · Paulijeva jednadžba · Klein-Gordonova jednadžba · Diracova jednadžba Napredne teorije Kvantna teorija polja · Kvantna elektrodinamika · Kvantna kromodinamika · Kvantna gravitacija · Feynmanov dijagram Interpretacije Ansambl Bayesova De Broglie–Bohmova (Pilotski val) Kopenhagenska Kvantna logika Mnogo-svjetova Objektivni kolaps GRW CSL DP Penroseova Pristup konzistentne povijesti Relacijska Skrivene varijable (Lokalne) Stohastička Svijest uzrokuje kolaps Transakcijska Znanstvenici Planck · Schrödinger · Heisenberg · Bohr · Pauli · Dirac · Bohm · Born · de Broglie · von Neumann · Einstein · Feynman · Everett · Drugi

Matematički problemi u kvantnoj mehanici

U kvantnoj mehanici problemi nastaju kada je dimenzija Hilbertovog prostora beskonačna. U ovom dijelu pozabavit ćemo se s tri primjera koja ukazuju na te probleme.

Primjer 1: Problem svojstvenih vrijednosti

Ako se želi pronaći svojstvene vrijednosti operatora: ${\hat {A}}$ rješava se iduća jednadžba:

${\hat {A}}\psi =a\psi$ 

gdje je $a$ svojstvena vrijednost danog operatora, a $\psi$ svojstveni vektor pridružen svojstvenoj vrijednosti. No, može se dogoditi da navedena jednadžba ima samo trivijalna rješenja u Hilbertovom prostoru. Na primjer, ako je operator hamiltonijan za slobodnu česticu, rješava se iduća jednadžba: $-\Delta \psi (x)=E\psi (x)$

Nju se može rješiti ako je svojstveni vektor u obliku ravnog vala: $\psi (x)=e^{ikx}$ no, ova funkcija nije kvadratno integrabilna. Stoga je gornja jednadžba rješiva u Hilbertovom prostoru jedino za $\psi (x)=0$

Ovaj se problem rješava na sljedeći način: Prvo se početna jednadžba zapiše u idućem obliku: $({\hat {A}}-a{\hat {I}})psi=0$ Ako izraz ${\hat {A}}-a{\hat {I}}$ nije invertibilan, kaže se da $a$ pripada spektru operatora ${\hat {A}}$ koji se označava s $\sigma ({\hat {A}})$. U protivnom se kaže da $a$ pripada rezolventnom skupu $\rho ({\hat {A}})$.

Primjer 2: Norma operatora

Norma operatora $A$ definira se:

$\|A\|=\{\sup {\frac {\|A\psi \|}{\|\psi \|}}:\psi \in H/\{0\}\}$  

gdje je H Hilbertov prostor. Ako je norma operatora konačna, kaže se da je operator ograničen, a ako je $\|A\|=\infty$, tada se kaže da je operator neograničen. U tom slučaju operator se ne može definirati na cijelnom Hilbertovom prostoru, već se najčešće zahtijeva da je domena operatora gusta u Hilberovom prostoru. Uzmimo za promjer operator položaja: ${\hat {x}}\psi (x)=x\psi (x)$

Neka je $\psi (x)=(1+|x|)^{-{\frac {2}{3}}}$ Vidi se da je $\psi (x)$ kvadratno integrabilna funkcija, no, kada se na tu funkciju djeluje operatorom položaja rezultirajuća funkcija više nije kvadratno integrabilna, što znači da nije definirana na Hilbertovom prostoru.

Primjer 3: Adjungirani i samoadjungirani operator

Ako je dan ograničeni operator ${\hat {A}}$ definiran na Hilbertovom prostoru, adjungat operatora je dan s $\langle \phi ,{\hat {A}}^{*}\psi \rangle =\langle {\hat {A}}\phi ,\psi \rangle$ gdje je $\langle \centerdot ,\centerdot \rangle$ označava skalarni produkt. Ako je ${\hat {A}}^{*}={\hat {A}}$, tada se kaže da je operator ${\hat {A}}$ samoadjungirani operator. No, ako operator neograničen, tada se može dogoditi da se domene operatora i adjungiranog operatora ne podudaraju.

Kada postoji kvantna mehanika?

Promotrimo iduću komutacijsku relaciju:

$[{\hat {p}},{\hat {q}}]=-i\hbar$  

gdje je ${\hat {p}}$ operator momenta, ${\hat {q}}$ operator položaja, te $\hbar$ reducirana Planckova konstanta. Ova relacija se još naziva Born-Jordanova relacija, te se iz nje može iščitati kada postoji kvantna mehanika ovisno o definiciji operatora ${\hat {p}}$ i ${\hat {q}}$. Naime, ako je $\hbar =0$, tada se može reći da kvantna mehanika ne postoji zbog Heisenbergovih relacija neodređenosti. U ovom dijelu će se promotriti tri slučaja za operatore ${\hat {p}}$ i ${\hat {q}}$.

1) Uzmimo da su p i q nxn matrice, pri čemu će n prirodni broj, te pretpostavimo da Born-Jordanova relacija vrijedi. Uzimajući trag početne relacije lako se vidi da konstanta mora biti jednaka nuli jer je n proizvoljan. Dakle, ${\hat {p}}$ i ${\hat {q}}$ ne mogu biti matrice ako želimo da vrijede zakoni kvantne mehanike.

2) Sada pretpostavimo da su ${\hat {p}}$ i ${\hat {q}}$ opservable definirane svuda na Hilbertovom prostoru, te da zadovoljavaju početnu relaciju i da jedna od njih ima svojstveni vektor. Ako su p i q opservable, to znači da su samo-adjungirani operatori jer im spektar mora biti realan. Nadalje operatori ${\hat {p}}$ i ${\hat {q}}$ su definirani svuda na Hilbertovom prostoru, to znači da su p i q ograničeni operatori prema Hellinger-Toeplitz teoremu. Uzimajući sve u obzir, može se pokazati da je i u ovom slučaju reducirana Planckova konstanta jednaka nuli.

3) Sada pogledajmo slučaj u kojemu su operatori ${\hat {p}}$ i ${\hat {q}}$ definirani na gustom potprostoru Hilbertovog prostora. Naime, ako je barem jedan operator neograničen, pročetna relacija je zadovoljena. Čitatelj može vrlo lako dokazati ovu tvrdnju korištenjem iduće relacije: $[{\hat {p}},{\hat {q}}^{n}]=-in\hbar {\hat {q}}^{n-1}$ Ova relacija se može dokazati uz pomoć matematičke indukcije.

Izvori

[1] Reed, Michael and Simon, Barry: Methods of Mathematical Physics, Volume 1: Functional Analysis. Academic Press, 1980. See Section III.5.

[2] Teschl, Gerald (2009). Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators. Providence: American Mathematical Society.