Teorem o apsolutnoj vrijednosti zbroja i produkta

Teorem o apsolutnoj vrijednosti zbroja i produkta je jedan od temeljnih teorema u matematičkoj analizi. Iskaz teorema daje osnovna svojstva operacija s apsolutnom vrijednošću.

Naime, apsolutna vrijednost zbroja realnih brojeva manja je ili jednaka od zbroja apsolutnih vrijednosti pribrojnika, tj. vrijedi $|a+b|\leq |a|+|b|$ za sve $a,b\in \mathbb {R}$ (1) te je apsolutna vrijednost produkta dva realna broja jednaka produktu apsolutnih vrijednosti faktora tog produkta, odnosno vrijedi $|a\cdot b|=|a|\cdot |b|$ za sve $a,b\in \mathbb {R}$. (2)

Svojstvo (1) apsolutne vrijednosti naziva se multiplikativnost, dok se svojstvo (2) naziva subaditivnost.

Nejednakost $|a+b|\leq |a|+|b|$ često se naziva nejednakost trokuta jer za bilo koje dvije stranice trokuta $a$, $b$ i treću stranicu trokuta $c$ vrijedi $|a+b|<|c|$, a to je nužan i dovoljan uvjet za konstrukciju trokuta.

Dokaz

Iz $-|a|\leq a\leq |a|$ i $-|b|\leq b\leq |b|$ zbrajanjem dobivamo $-(|a|+|b|)\leq a+b\leq |a|+|b|$ pa slijedi $|a+b|\leq |a|+|b|$.

Također, za dokazati drugi dio teorema, razlikujemo četiri slučaja:

• $a>0,b>0$: u ovom slučaju imamo $|a|=a$ i $|b|=b$, te $|ab|=ab$ (jer je $ab>0$) pa odmah slijedi $|ab|=|a|\cdot |b|$.

• $a<0,b<0$: sada vrijedi $|a|=-a$ i $|b|=-b$ te $|ab|=ab$ (jer je $ab>0$) pa slijedi $|ab|=ab=(-a)\cdot (-b)=|a|\cdot |b|$.

• $a>0,b<0$: imamo $|a|=a$ i $|b|=-b$ te $|ab|=-ab$ (jer je $ab<0$) pa slijedi $|ab|=-ab=a\cdot (-b)=|a|\cdot |b|$.

• Bez smanjenja općenitosti, $a=0$: imamo $|a|=0$ i $|ab|=0$ (jer je $ab=0$) pa odmah slijedi $|ab|=|a|\cdot |b|$.