Teorem o apsolutnoj vrijednosti zbroja i produkta

Teorem o apsolutnoj vrijednosti zbroja i produkta je jedan od temeljnih teorema u matematičkoj analizi. Iskaz teorema daje osnovna svojstva operacija s apsolutnom vrijednošću.

Naime, apsolutna vrijednost zbroja realnih brojeva manja je ili jednaka od zbroja apsolutnih vrijednosti pribrojnika, tj. vrijedi za sve (1) te je apsolutna vrijednost produkta dva realna broja jednaka produktu apsolutnih vrijednosti faktora tog produkta, odnosno vrijedi za sve .[1] (2)

Svojstvo (1) apsolutne vrijednosti naziva se multiplikativnost, dok se svojstvo (2) naziva subaditivnost.

Nejednakost često se naziva nejednakost trokuta jer za bilo koje dvije stranice trokuta , i treću stranicu trokuta vrijedi , a to je nužan i dovoljan uvjet za konstrukciju trokuta.[2][3]

DokazUredi

Iz   i   zbrajanjem dobivamo   pa slijedi  .

Također, za dokazati drugi dio teorema, razlikujemo četiri slučaja:

  •  : u ovom slučaju imamo   i  , te   (jer je  ) pa odmah slijedi  .
  •  : sada vrijedi   i   te   (jer je  ) pa slijedi  .
  •  : imamo   i   te   (jer je  ) pa slijedi  .
  • Bez smanjenja općenitosti,  : imamo   i   (jer je  ) pa odmah slijedi  .

IzvoriUredi