Teorem o dovoljnim uvjetima za konvergenciju niza

Teorem o dovoljnim uvjetima za konvergenciju niza jedan je od temeljnih teorema iz matematičke analize. Koristi se u dokazivanju svojstava nizova, ali i redova.

Njegov iskaz glasi:

Svaki ograničen i monoton niz realnih brojeva je konvergentan.

Dokaz uredi

Pretpostavimo, bez smanjenja općenitosti, da je niz   rastući. Kako je on po pretpostavci i ograničen, skup   je odozgo ograničen pa po aksiomu potpunosti ima supremum u skupu  , odnosno postoji  . Po definiciji supremuma vrijedi   za svaki   te za svaki   postoji   (za neki  ) takav da je  . Kako niz   raste, za   dobivamo  , odnosno  . Odavde zaključujemo da je niz   konvergentan i  . Dokaz se, dakle, provodi analogno za padajući niz.[1]

Izvori uredi

  1. Matematička analiza 1, Danijel Krizmanić, 2019.