Teorija kategorija

Teorija kategorija je grana matematike koja formalizira matematičke strukture i njezine koncepte u obliku označenih usmjerenih grafova zvanima kategorijama, čiji se označeni usmjereni bridovi nazivaju streljicama (ili morfizmima). Kategorija ima dva osnovna svojstva: mogučnost kompozicije strelica asocijativno i postojanje identitetske strelice za svaki objekt. Jezik teorije kategorija je bio korišten za formalizaciju koncepata drugih visokih abstrakcija poput skupova, prstenova, i grupa. Informalno, kategorija teorija je generalna teorija funkcija.

Nekolika termina korištenih u teoriji kategorija, uključujući termin "morfizam" se koriste drugačije nego u ostatku matematike. U teoriji kategorija, morfizmi ispunjavaju svojstva specifična kategoriji teorija samoj.

Saunders MacLane i Samuel Eilenberg su uveli koncepte kategorija, funktora i prirodnih transformacija u 1942-45 u njohovom proučavanju algebarske topologije, sa ciljem razumijevanja procesa koji sačuvaju matematičku strukturu.


Kategorija teorija ima praktičnu primjenu u teoriji programskih jezika, npr. korištenje monada u funkcijskom programiranju. Može se i koristiti kao aksiomatsko temelje za matematiku, kao alternativa teoriji skupova i drugim propoziranim temeljima.

Definicija kategorijeUredi

Kategorija C sastoji se od matematička pojma:

  • Klasa ob(C), čiji elementi se zovu objekti;
  • Klasa hom(C), čiji elementi se zovu morfizmi ili preslike ili strelice. Svaki morfizam f ima izvor objekt a i cilj objekt b. Izraz f : ab, izgovara se kao "f je morfizam iz a u b". Izraz hom(a, b) – alternativno izražen kao homC(a, b), mor(a, b), ili C(a, b) – označuje hom-klasu svih morfizama iz a u b.
  • Binarna operacija ∘, zvana kompozicija morfizama, takva da za bilo koja tri objekta a, b, i c, vrijedi ∘ : hom(b, c) × hom(a, b) → hom(a, c). Kompozicija f : ab i g : bc se zapisuje gf ili gf, vladana sljedećim dvijema aksiomima:
    • Asocijativnost: Ako je f : ab, g : bc i h : cd onda h ∘ (gf) = (hg) ∘ f, i
    • Identitet: Za svaki objekt x, postoji morfizam 1x : xx zvan identitski morfizam za x, takav da za svaki morfizam f : ab, vrijedi 1bf = f = f ∘ 1a.
Iz aksioma se može dokazati identitetski morfizam za svaki objekt. Neki autori devijiraju od te definicije tako da se svaki objekt identificira sa svojim identitetskim morfizmom.

Kategorija je mala ako su klase Ob(C)0 i Mor(C)0 zapravo skupovi.

Odnosi među morfizmima i tipovi morfizamaUredi

Relacije između morfizama (poput fg = h) često se prikazuju pomoću komutativnih dijagrama, sa "točkama" (kutevima) predstavljajući objekte i "strelice" predstavljajući morfizme.

Morfizmi mogu imati bilo koja od sljedećih svojstava. Morfizam f : ab je:

  • monomorfizam (ili injekcija) ako fg1 = fg2 povlači g1 = g2 za sve morfizme g1, g2 : xa.
  • epimorfizam (ili surjekcija) ako g1f = g2f povlači g1 = g2 za sve morfizme g1, g2 : bx.
  • bimorfizam ako je f oboje injekcija i surjekcija.
  • izomorfizam ako postoji morfizam g : ba such that fg = 1b and gf = 1a.
  • endomorfizam ako a = b. end(a) označava klasu endomorfizama od a.
  • automorfizam ako f je oboje endomorfizam i izomorfizam. aut(a) označava klasu automorfizama od a.
  • retrakcija ako desni inverz od f postoji, t.j. ako postoji morfizam g : ba takav da fg = 1b.
  • sekcija ako lijevi invers od f postoji, t.j. ako postoji morfizam g : ba takav da gf = 1a.

Svaka retrakcija je epimorfizam, i svaka sekcija je monomorphism. Nadalje, sljedeće tri tvrdnje su ekvivalentne:

  • f je monomorfizam i retrakcija;
  • f je epimorfizam i sekcija;
  • f je izomorfizam.

Suprotna kategorijaUredi

Svakoj kategoriji možemo pridružiti suprotnu kategoriju koja ima iste objekte i morfizme, no morfizmi idu u suprotni smjer. Tako za svaki objekt imamo njegovu suprotnu kopiju , a za morfizam njegov suprotnu kopiju sa zamijenjenom domenom i kodomenom; pri tome je kompozicija definirana s , a identitete s . Suprotnu kategoriju nazivamo također dvojstvenom ili dualnom kategorijom kategorije .

Funktori i prirodne transformacijeUredi

Za svake dvije kategorije, C i D, funktor F:CD se sastoji od para preslikavanja, F0:Ob(C) → Ob(D) i F1:Mor(C) → Mor(D) zajedno s dva uvjeta kompatibilnosti; grubo rečeno, F1 šalje identite u identitete, a kompozicije u kompozicije.

Za svaka dva funktora F0, G0:Ob(C) → Ob(D) tada možemo govoriti o prirodnoj transformaciji (danas se često kaže samo transformacija) η : FG kao familiji morfizama ηx : F(x)→G(x) u D, indeksiranim s x u Ob(C), pri čemu se zahtijeva da za svaki morfizam f : ab u C vrijedi tzv. uvjet prirodnosti: G(f) o ηa= ηb o F(f) : F(a)→G(b).

Uvjet prirodnosti zapravo je bio osnovna motivacija za uvođenje pojma kategorije, jer se često pojavljivao, a nije bilo jasno kakav opći kontekst izražava taj uvjet.

Nije teško poopćiti pojam funktora na funktor više varijabli. U slučaju dvije varijable ponekad kažemo bifunktor. Bifunktori s varijablama u kategorijama C i D i s vrijednostima u kategoriji E identificiramo s običnim funktorima iz kartezijevog produkta kategorija C x D u kategoriju E.

U starijoj literaturi funktori su se nazivali kovarijantnim funktorima, a uz njih je upotrebljavan i pojam kofunktora ili kontravarijantnog funktora. No, kontravarijantan funktor iz C u D je zapravo običan (kovarijantni) funktor iz suprotne kategorije u D.

Ekvivalencija kategorijaUredi

Funktor F:CD je ekvivalencija kategorija ako postoji funktor G:DC takav da je G o F prirodno izomorfno identičnom funktoru IdC, a F o G prirodno izomorfno identičnom funktoru IdD. U toj situaciji kažemo da je G slabi inverz (ponekad kažemo i kvaziinverz) od F. Antiekvivalencija kategorija je kontravarijantni funktor koji je ekvivalencija, tj. običan funktor sa suprotne kategorije u D koji je ekvivalencija.

Monoidalne kategorijeUredi

Striktna monoidalna kategorija je kategorija C opremljena monoidalnim produktom, koji je po definiciji (bi)funktor koji je asocijativan i jediničnim objektom, tj. objektom u koji je jedinica s obzirom na taj produkt. Većina primjera u matematici vodi, međutim, na monoidalne produkte koji nisu striltno asocijativni, nego su asocijativni do na tzv. koherentni izomorfizam. Takve nestriktne monoidalne kategorije uveo je Saunders MacLane koji je dokazao i fundamentalni teorem o strukturi kompozicija više koherentnih izomorfizama, naime svake dvije kompozicije s istom domenom i kodomenom su jednake.

Više kategorijeUredi

Postoji kategorija kategorija Cat, čiji su objekti (male) kategorije a morfizmi su funktori među kategorijama. Ta se kategorija može proširiti, može se govoriti o morfizmima među morfizmima, a to su prirodne transformacije, tako da Cat(C,D) nije samo skup morfizama nego zapravo kategorija. Tako se dolazi do primjera tzv. striktne 2-kategorije. Pri tome možemo svaki skup nazvati 0-kategorijom, a običnu kategoriju 1-kategorijom. Jean Benabou je uveo u razmatranje pojam bikategorije ili slabe 2-kategorije, čija asocijativnost kompozicije je oslabljena koherentnim izomorfizmima koji su po Benabouovoj definiciji dio njihove strukture. Bikategorije sa samo jednim objektom u prirodnoj su bijekciji s monoidalnim kategorijama; time teorija bikategorija efektivno poopćuje teoriju monoidalnih kategorija.

Alexandre Grothendieck uveo je pojam ekvivalencije kategorija, koja je pojam slabiji od izomorfizma kategorija i koji je prirodniji za 2-kategorije, pa tako i za 2-kategoriju kategorija Cat. Zapravo pokazuje se da se tako može nastaviti i doći do sve oslabljenijih tipova "jednakosti". Počevši od jednakosti unutar skupa, preko izomorfizama na nivou objekata unutar kategorije, pa ekvivalencije objekata u 2-kategoriji, do 2-ekvivalencije u 3-kategoriji i tako dalje. To podsjeća na pojam homotopije u algebarskoj topologiji. Naime, homotopija se može gledati kao morfizam među neprekidnim preslikavanjima. No može se gledati i homotopija među homotopijama i tako dalje, uvodeći više homotopije. To vodi području koje je između teorije kategorija i apstraktne teorije homotopija, a to je teorija viših kategorija. Pri tome je teorija striktnih viših kategorija mnogo jednostavnija od onih važnijih, slabih, u kojima je asocijativnost kompozicija (kojih ima više u višim kategorijama) do na koherencije, koje opet imaju svoje koherencije i tako dalje, što jako usložnjava njihovu definiciju i proučavanje. No slabe više kategorije su važne jer većina važnih primjera viših kategorija vodi na njih, a ne na jednostavnije, slabe, kategorije.

U matematičkim istraživanjima, razvoj teorije viših kategorija je upravo sada u punom zamahu. Jedna od teškoća te teorije je postojanja više pristupa (formalizama) koji se tehnički dosta razlikuju i do nedavno je bilo vrlo nejasno koliko su sami ti pristupi međusobno ekvivalentni. Sada se ta pitanja znatno bolje razumiju nego prije desetak godina i teorija viših kategorija se sve više primjenjuje, i u teorijskoj fizici. Glavne ideje u teoriji viših kategorija razvili su Alexandre Grothendieck, André Joyal, Ross Street, Carlos Simpson, Tom Leinster, Michael Batanin (Mihajl Batanjin), John Baez, Bertrand Toen, Maxim Kontsevich i Jacob Lurie. Na neke od pristupa izrazito je uticala teorija modelnih kategorija (za apstraktnu teoriju homotopija) Davida Quillena, te simplicijalne metode iz algebarske topologije.

Uz više kategorije promatra se i niz drugih poopćenja koja podsjećaju strukturom i formalizmom na više kategorije, npr. viši operadi.

BilješkeUredi

IzvoriUredi