Topologija

Topologija je grana matematike. Proučava ona svojstva geometrijskih objekata koja ostaju nepromijenjena (invarijantna) kad se oblici izobličuju rastezanjem, izvrtanjem ili gnječenjem. Također proučava odnos područja i granice. Topologiju ne zanima je li oblik velik ili malen, okrugao ili četvrtast jer se ta svojstva mogu promijeniti. U topologiji je važnije kvalitativno nego kvantitativno.

Osnovni objekt u topologiji je topološki prostor.

Grane topologije su opća topologija, algebarska topologija, geometrijska topologija, diferencijalna topologija, a odnedavno i tzv. gruba topologija.

Opća topologija bavi se uglavnom tipologijom topoloških prostora. Algebarska topologija bavi se izučavanjem topoloških invarijanti toploških prostora i funktorima u algebarske kategorije, te razlikovanjem konkretnih topoloških prostora i pitanjima egzistencije preslikavanja i topoloških i geometrijskih konstrukcija uz pomoć topoloških invarijanti i funktora u algebarske kategorije. Diferencijalna topologija bavi se topologijom glatkih mnogostrukosti, preprekama za postojanje glatkih struktura na topološkim mnogostrukostima, te profinjenjima funktora iz algebarske topologije u kontekstu diferencijalnih mnogostrukosti.

Povijesni razvoj i glavni predstavniciUredi

Prvi važni teorem u topologiji Eulerov je teorem, koji kaže da je za svaki konveksni poliedar broj vrhova minus broj bridova plus broj stranica točno dva, neovisno o poliedru. Danas kažemo da je Eulerova karakteristika sfere i njoj homeomorfnih poliedara 2. Osnivač moderne topologije, na kraju 19. i početkom 20. stoljeća, je Henri Poincaré čiji doprinos području je ogroman, a koji je topologiju nazivao analysis situs.

Opću topologiju i moderan skupovni pojam topološkog prostora uveo je Felix Hausdorff. Drugi važni predstavnici topologije od kraja 19. stoljeća do danas su: P. S. Urysohn, A. N. Tihonov, Eduardo Čech, P. S. Aleksandrov, Heinz Hopf, Norman Steenrod, Alexander, J. H. C. Whitehead, H. Whitney, John Milnor, Stephen Smale, Donald Kan, Simon Donaldson, Daniel Quillen, Dennis Sullivan, Vladimir Rohlin, Mo Hirsch, Mihajl Gromov, Sergej Novikov i u najnovije vrijeme Michael Hopkins, Jacob Lurie, Grigorij Perelman i dr.

Elementarni pojmovi[1]Uredi

DefinicijaUredi

Neka je X skup i 𝒯 množina podskupova od X za koju vrijedi:

  1. Ø, X ∈ 𝒯.
  2. Ako su U i V iz 𝒯, onda je i presjek U∩V ∈ 𝒯.
  3. Unija svake familije elemenata iz 𝒯 je element iz 𝒯.

Tada uređeni par (X,𝒯) nazivamo topološki prostor, a 𝒯 nazivamo topologija na skupu X. Elemente iz 𝒯 nazivamo otvorenim skupovima. Komplement (obzirom na skup X) otvorenog skupa nazivamo zatvorenim skupom.

Jednostavnije rečeno, topologija na X je svaka množina skupova na X zatvorena na konačne presjeke i proizvoljne unije.

Primjeri:[2]

  • diskretna topologija: 𝒯 = 𝒫(X) — porodica svih podskupova skupa X
  • indiskretna ili trivijalna topologija: 𝒯 = {∅, X}
  • topologija konačnih komplemenata ili kofinitna topologija : 𝒯f sastoji se od praznog skupa ∅ i komplemenata konačnih skupova.
  • topologija lijevih zraka na R(skup realnih brojeva): 𝒯 = {⟨-∞,x⟩: x ∈ R} U {Ø, R}. Analogno se definira topologija desnih zraka.
  • topologija određena točkom: Neka je X skup i x0 iz X. Topologija 𝒯 = {V⊆X: x0 iz V} U {Ø} naziva se topologija određena točkom x0 iz X.
  • inicijalna topologija: Neka je X skup i (Y, 𝒯) topološki prostor i ƒ:X→Y funkcija. Tada je množina U = {ƒ-1(V) : V ∈ 𝒯} topologija na X koju nazivamo inicijalna topologija funkcije ƒ.
  • slaba topologija: Neka je (Xi, 𝒯i) familija u parovima disjunktnih topoloških prostora i Y = Ui∈I Xi. Tada je množina 𝒯w ={V ⊆ Y : (∀i∈I) V ∩ Xi ⊆ 𝒯i } topologija na Y koju nazivamo slaba topologija na Y.

Kad vrijedi [3]

𝒯′ ⊇ 𝒯

onda je

topologija 𝒯′ finija ili veća od 𝒯 odnosno

topologija 𝒯 je grublja ili manja od 𝒯′

Baza i podbaza topologijeUredi

Neka je X skup i 𝒯 topologija na X. Neka je B podmnožina od 𝒯.Kažemo da je B baza topologije 𝒯 ako se svaki otvoreni skup U iz 𝒯 može prikazati kao unija neke familije elemenata iz B.

Za podmnožinu P od 𝒯 kažemo da je podbaza topologije 𝒯 ako je množina B svih konačnih presjeka iz P baza topologije 𝒯.

Vrijede sljedeća dva teorema o bazi topologije:

  • Teorem 1: Neka je 𝒯 topologija na X i B ⊆ 𝒯 podmnožina od 𝒯 . B je baza topologije 𝒯 ako i samo ako za svaki U ∈ 𝒯 i svaki x ∈ U, postoji B ∈ B, takav da je x ∈ B ⊆ U.
  • Teorem 2:Neka je X proizvoljan skup i B množina podskupova od X sa svojstvima: (B1) B je pokrivač za X (B2) Ako su B' , B'' ∈ B i x ∈ B' ∩ B'', onda postoji B ∈ B, takav da je x ∈ B ⊆ B' ∩ B'' . Tada postoji jedinstvena topologija 𝒯 na X kojoj je B baza. Elementi topologije 𝒯 su svi oni podskupovi od X koji su unije familija elemenata od B.

Teorem 2 će nam omogućiti da konstruiramo neke nove topologije. Promotrimo sljedeće primjere:

  • Neka je B = { [a, b> : a, b ∈ R ∧ a < b }. Množina B zadovoljava uvjete Teorema 2 pa postoji jedinstvena topologija kojoj je B baza. Tu topologiju zovemo topologija donjeg limesa, a uređeni par (R,B), nazivamo Sorgenfreyevim pravcem.
  • Neka je X potpuno uređen skup koji nema ni minimum ni maksimum i B = {<a, b> : a, b ∈ X ∧ a < b }. Tada B zadovoljava uvjete Teorema 2 pa postoji jedinstvena topologija kojoj je B baza. Tu topologiju nazivamo uređajnom topologijom na X. Uređajnu topologiju na skupu realnih brojeva R nazivamo standardna topologija na R.

Nutrina (interior) skupa, zatvorenje skupa, granica skupaUredi

Nutrina, ili interiror skupa A u topološkom prostoru X, u oznaci Int A, je unija svih otvorenih skupova skupova u X sadržanih u A.

Zatvorenje skupa A u topološkom prostoru X, u oznaci Cl A, je presjek svih zatvorenih skupova koji sadrže A.

Nutrina skupa je otvoren skup, a zatvorenje skupa je zatvoren skup.

Vrijedi: Cl A=X\Int(X\A) i Int A=X\Cl(X\A).

Granica skupa A u topološkom prostoru X, u oznaci Fr A je skup Fr A=Cl A∩Cl (X\A). Vrijedi Fr A=Cl A\Int A

Primjeri (1):

  • Int A ⊆ A
  • IntA=A ako i samo ako je A otvoren skup
  • Cl A = A ako i samo ako je A zatvoren skup
  • A⊆B povlači Int A⊆Int B
  • A⊆B povlači Cl A⊆Cl B

Primjeri(2):

  • U standardnoj topologiji na R vrijedi Int<a,b>=Int[a,b>=Int<a,b]=Int[a,b]=<a,b> te Cl<a,b>=Cl[a,b>=Cl<a,b]=Cl[a,b]=[a,b]
  • U topologiji lijevih zraka vrijedi Int<a,b>=Ø jer se nijedna lijeva zraka ne može upisati u interval <a,b>. Slično vrijedi i za skupove <a,b], [a,b> i [a,b].
  • U standardnoj topologiji na R vrijedi Cl Q=Cl I = R, Fr Q=R, Fr N=N

Iz navedenih primjera uočavamo da nutrina, zatvorenje i granica skupa značajno ovise o topologiji na danom skupu.

Okolina skupa, gomilište skupa, derivat skupaUredi

Okolina točke x0 ∈ X je svaki skup za koji je x0 ∈ Int O. Okolina točke ne mora biti otvoreni skup. Vrijedi sljedeći teorem:

  • Skup U ⊆ X je otvoren skup u topološkom prostoru X ako i samo ako je X okolina svake svoje točke.

Za točku x0 ∈ X kažemo da je gomilište skupa A ⊆ X ako svaka okolina O točke x0 siječe skup A\{x}.

Za točku x0 ∈ X kažemo da je izolirana točka skupa A ⊆ X ako x0 nije gomilište skupa A.

Skup svih gomlišta skupa A ⊆ X nazivamo derivat skupa A i označavamo s A'. Vrijedi Cl A= A ∪ A'.

Primjeri:

  • Neka je Ts standardna topologija na R. Tada je Q' = I' = R. Za skup A=<0,1] ∪ {2} vrijedi da je A' = [0,1], a točka x=2 je izolirana točka skupa A.
  • Neka je Tlz topologija lijevih zraka. Tada je N' = <1,+∞>. Za skup A iz prethodnog primjera vrijedi da točka x=2 nije izolirana točka skupa A.

Potprostorna topologijaUredi

Neka je (X, 𝒯) topološki prostor i Y ⊆ X. Tada je množina skupova 𝒯Y := {Y ∩ U: U ∈ 𝒯 } topologija na Y koju nazivamo naslijeđena ili relativna topologija na Y, a (Y, 𝒯Y) naziva se topološki potprostor od (X, 𝒯).

Aksiomi separacijeUredi

Nakon što smo upoznali osnovne pojmovi koji se javljaju u teoriji topoloških prostora, možemo razmotriti i neke druge fenomene. Prvi od njih su aksiomi separacije koji razvrstavaju topološke prostore u klase ovisno o sposobnosti tih topoloških prostora da separiraju točke i skupove. Uskoro opširnije...

IzvoriUredi

  1. Vlasta Matijević. Uvod u opću topologiju
  2. PMF Zagreb - Matematički odsjek Šime Ungar: Opća topologija, str. 25
  3. PMF Zagreb - Matematički odsjek Šime Ungar: Opća topologija, str. 25

Vanjske povezniceUredi