Vivianijev teorem

Vivianijev teorem je rezultat u euklidskoj geometriji kojega je početkom 18. stoljeća dokazao talijanski matematičar Vincenzo Viviani.

Zbroj udaljenosti točke T od stranica jednakostraničnog trokuta ABC jednak je duljini visine tog trokuta, tj. vrijedi


Teorem tvrdi da je za bilo koju izabranu točku unutar jednakostraničnog trokuta zbroj udaljenosti točke od stranica trokuta jednak visini tog trokuta.[1]

Dokaz preko površina uredi

Neka su   i   nožišta okomica iz točke   na stranice   i   trokuta  , a   visina trokuta  . Prikažimo površinu trokuta   pomoću zbroja površina tri trokuta  .

 

Odovuda slijedi  

Zanimljivosti uredi

Zanimljivo je da se Vivianijev teorem može poopćiti i na pravilne mnogokute.

Naime, vrijedi da je zbroj udaljenosti bilo koje točke   pravilnog n-terokuta do njegovih stranica neovisan o položaju točke  .

Dokaz. Ako su stranice pravilnog n-terokuta duljine  , a udaljenosti od točke   do stranica tog n-terokuta  , tada je površina poligona jednaka  , dakle vrijedi  

Može se dokazati da generalizacija Vivianijeva teorema vrijedi i za poligone kojima su svi unutarnji kutovi sukladni, tj. za tzv. ekviangularne poligone.

 
Poopćenje Vivianijeva teorema na pravilne mnogokute

Izvori uredi