Weierstrassov teorem o uniformnoj konvergenciji reda funkcija

Weierstrassov teorem o uniformnoj konvergenciji reda funkcija je teorem u matematičkoj analizi koji služi za određivanje je li beskonačni red apsolutno i uniformno konvergentan.

Odnosi se na one redove čiji su članovi ograničene funkcije. Teorem je nazvan po velikom njemačkom matematičaru Karlu Weierstrassu.

Iskaz

Neka je $(f_{k})$ niz redova funkcija definiranih na nekom skupu $E$ i neka postoji niz nenegativnih brojeva $a_{k}$ takvih da red $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergira i $|f_{k}(x)|\leq a_{k}$ vrijedi za sve $k\geq 1$ i za sve $x\in E$, tada red $\sum _{k=1}^{\infty }f_{k}$ konvergira apsolutno i uniformno na $E$.

Dokaz

Prema teoremu o uspoređivanju redova, red $\sum _{k=1}^{\infty }f_{k}(x)$ apsolutno konvergira za svaki $x\in E$. Neka je $f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }f_{k}(x),S_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x)$ te $A=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k},\tau _{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}.$

Ako je $|f_{k}(x)|\leq a_{k}$, za $k>n_{1}$ i sve $x\in E$, tada za sve $m,n\in \mathbb {N} (m>n>n_{1})$ i za svaki $x\in E$ imamo $|\sum _{k=n+1}^{m}f_{k}(x)|\leq \sum _{k=n+1}^{m}|fk(x)|\leq \sum _{k=n+1}^{m}a_{k}=\tau _{m}-\tau _{n}.$

Odavde, pri $m\rightarrow \infty$, za svaki $x\in E$ imamo $|f(x)-S_{n}(x)|<A-\tau _{n}\rightarrow 0,(n\rightarrow \infty ).$

To znači da za svaki $\epsilon >0$ postoji $n_{0}\in \mathbb {N}$ takav da za svaki $x\in E$ vrijedi $(n>n0)\implies |f(x)-S_{n}(x)|<\epsilon$, što znači da red $\sum _{k=1}^{\infty }f_{k}$ uniformno konvergira na $E$, što je i trebalo pokazati.