Cauchyeve funkcijske jednadžbe

Cauchyjeve funkcijske jednadžbe smatraju se najvažnijim funkcijskim jednadžbama. Nazvane su prema francuskom matematičaru Augustinu Louisu Cauchyu.

Postoje četiri tipa Cauchyjevih funkcijskih jednadžbi: aditivna, multiplikativna, eksponencijalna i logaritamska.[1] Najprepoznatljivija od njih je aditivna, gdje je .

Rješenje aditivne Cauchyeve funkcijske jednadžbe

uredi

Treba naći sve funkcije   za koje je   za sve  .

Rješenje. Uvrštavanjem   dobivamo   pa je  . Uvrštavanjem   dobivamo   što znači da je  . Dakle, sve funkcije koje zadovoljavaju gornju jednadžbu su neparne funkcije.

Neka je sada  . Vrijedi   Iz ovoga je   Sada zaključujemo da vrijedi   za sve  . Dakle, vrijedi i   za sve  .

No, to znači da je   za sve  .

Provjerom se lako vidi da to zaista jest rješenje.

Ostali tipovi Cauchyeve jednadžbe

uredi

Osim aditivne postoje i multiplikativna, eksponencijalna i logaritamska funkcijska jednadžba.

One glase ovako.

  • multiplikativna:  ,
  • eksponencijalna:  ,
  • logaritamska:  .

Izvori

uredi