Diferencijalna geometrija

Diferencijalna geometrija bavi se izučavanjem geometrijskih svojstava prostora na kojima se mogu primjenjivati metode diferencijalnog računa. Primjeri takvih prostora jesu glatke mnogostrukosti, glatke orbistrukosti, stratificirane mnogostrukosti i slično.

Diferencijalna geometrija je grana matematike koja proučava glatke prostore^[a] poput zakrivljenih površina, glatkih mnogostrukosti i višedimenzionalnih prostora.

Ključni objekti proučavanja diferencijalne geometrije su glatke mnogostrukosti (eng. manifolds), koje predstavljaju $N$ - dimenzionalne prostore koji lokalno izgledaju kao Euklidski prostor, a u kojima se fizička stanja sustava mogu glatko mijenjati.^[1]

Nadalje, ostali objekti proučavanja su vektorska polja, koja opisuju gibanje, diferencijalne forme koje omogućuju integraciju preko tih prostora. Posebno važnu ulogu igraju Liejeve grupe i algebre, koje opisuju simetrije mehaničkih sustava i njihovu dinamiku.^[2]

Bilješke

↑ Glatka površina jest površina u kojoj svaka točka ima okolinu koja je difeomorfna s nekim otvorenim skupom u $\mathbf {E} ^{2}$ . Difeomorfizam je bijektivno preslikavanje između dviju glatkih mnogostrukosti koje je glatko i čija je inverzno preslikavanje također glatko. Intuitivno, to je glatka deformacija bez rezanja, lijepljenja ili naboravanja, koja čuva diferencijalnu strukturu prostora. $\mathbf {E} ^{2}$ predstavlja 2D Euklidski prostor, odnosno $\mathbf {E} ^{2}=\mathbb {R} ^{2}$

Izvori

↑ Needham, Tristan (2021). *Visual Differential Geometry and Forms: A Mathematical Drama in Five Acts*. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-20221-9.
↑ Hall, Brian C. (2015). *Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction*. 2nd ed. Springer.

Članak Diferencijalna geometrija koji govori o geometriji je mrva. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.

[1] Glatka površina jest površina u kojoj svaka točka ima okolinu koja je difeomorfna s nekim otvorenim skupom u $\mathbf {E} ^{2}$ . Difeomorfizam je bijektivno preslikavanje između dviju glatkih mnogostrukosti koje je glatko i čija je inverzno preslikavanje također glatko. Intuitivno, to je glatka deformacija bez rezanja, lijepljenja ili naboravanja, koja čuva diferencijalnu strukturu prostora. $\mathbf {E} ^{2}$ predstavlja 2D Euklidski prostor, odnosno $\mathbf {E} ^{2}=\mathbb {R} ^{2}$

[2] Needham, Tristan (2021). *Visual Differential Geometry and Forms: A Mathematical Drama in Five Acts*. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-20221-9.

[3] Hall, Brian C. (2015). *Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction*. 2nd ed. Springer.

[a]

[1]

[2]