Gustoća skupa

Gustoća skupa, osnovno je svojstvo uređenog skupa koje određuje njegovu uređajnu i metričku strukturu. Skup može biti gust (kontinuiran) ili diskretan.

Skup racionalnih brojeva $\mathbb {Q}$. Jasno je da se radi o gustom skupu, no ovaj prikaz pokazuje da je $\mathbb {Q}$ prebrojiv, iako nije diskretan.

Preciznije, kažemo da je skup $S$ takav da je $|S|\geq 2$ gust ako između svaka dva distinktna (različita) elementa $x,y\in S$ postoji treći distinktni element $z\in S$. Pretpostavlja se da $S$ ima barem dva elementa jer bi inače tvrdnja trivijalno vrijedila.

Također, s druge strane, kažemo da je uređeni skup diskretan ako nije gust.

U metričkom prostoru

Diskretni skup može se definirati i preko metričkih prostora, a pojam gustog skupa bit će, dakle, njegova negacija. Naime, skup $S\subseteq X$ je diskretan u metričkom prostoru $(X,d)$ ako za svaki $x\in S$ postoji $\delta >0$ takav da je $d(x,y)>\delta ,\forall y\in S,y\neq x$. Naravno, skup je gust ako nije diskretan.

Ova se definicija može intuitvno i zorno predočiti. Naime, skup će biti diskretan ako i samo ako možemo pronaći (ma kako malu) vrijednost $\delta >0$ od koje će udaljenost između bilo kojih dviju točaka biti veća. U slučaju gustog skupa, dvije točke mogu biti proizvoljno "blizu" pa takav $\delta >0$ ne postoji, odnosno za bilo koji $\delta >0$ možemo pronaći točke $x,y$ za koje je $d(x,y)\leq \delta$.